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专题10一次函数中的函数图象分段实际应用问题1、蒙蒙和贝贝都住在M小区，在同一所学校读书．某天早上，蒙蒙7：30从M小区站乘坐校车去学校，途中停靠了两个站点才到达学校站点，且每个站点停留2分钟，校车在每个站点之间行驶速度相同；当天早上，贝贝7：38从M小区站乘坐出租车沿相同路线出发，出租车匀速行驶，结果比蒙蒙乘坐的校车早2分钟到学校站点．他们乘坐的车辆从M小区站出发所行驶路程y（千米）与校车离开M小区站的时间x（分）之间的函数图象如图所示．（1）求图中校车从第二个站点出发时点B的坐标；（2）求蒙蒙到达学校站点时的时间；（3）求贝贝乘坐出租车出发后经过多少分钟追上蒙蒙乘坐的校车，并求此时他们距学校站点的路程．解：（1）校车的速度为：3÷6＝0.5（千米/分），点B的纵坐标为：3+0.5×（12﹣8）＝5，点B的横坐标为：12+2＝14，∴点B的坐标为（14，5）；（2）校车到达学校站点所需时间为：9÷0.5+4＝22（分），∴7点30分钟+22分钟＝7点52分钟，∴蒙蒙到达学校站点时的时间为7点52分钟；（3）∵C（22，9），B（14，5），设直线BC的表达式为：y＝kx+b（k≠0），，解得，∴直线BC的表达式为：y＝0.5x﹣2，由题意得F（8，0），E（20，9），设直线EF的表达式为y＝k1+b1（k1≠0），，解答，∴直线EF的表达式为y＝0.75x﹣6，由，解得，16﹣8＝8（分钟），9﹣6＝3（千米），∴贝贝乘坐出租车出发后经过8分钟追上蒙蒙乘坐的校车，此时他们距学校站点的路程为3千米．2、甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地，40min后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果与甲车同时到达B地，甲乙两车距A地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示（1）a＝，甲的速度是km/h；（2）求线段CF对应的函数表达式，并求乙刚到达货站时，甲距B地还有多远？（3）乙车出发min追上甲车？（4）直接写出甲出发多长时间，甲乙两车相距40km．解：（1）∵线段DE代表乙车在途中的货站装货耗时半小时，∴a＝4+0.5＝4.5（小时），甲车的速度＝＝60（千米/小时）；故答案为：4.5；60；（2）乙出发时甲所走的路程为：60×＝40（km），∴线段CF对应的函数表达式为：y＝60x+40；乙刚到达货站时，甲距B地的路程为：460﹣60×（4+）＝180（km）．（3）设乙车刚出发时的速度为x千米/时，则装满货后的速度为（x﹣50）千米/时，根据题意可知：4x+（7﹣4.5）（x﹣50）＝460，解得：x＝90．乙车追上甲车的时间为40÷（90﹣60）＝（小时），小时＝80分钟，故答案为：80；（4）在点E处，两车的距离为：360﹣（4.5×60+40）＝50（km），∴相距40km应该在EF段，设线段EF所在直线的解析式为y＝40x+b，则460＝40×7+b，解得b＝180，∴线段EF所在直线的解析式为y＝40x+180，易得直线OD的解析式为y＝90x（0≤x≤4），根据题意得60x+40﹣90x＝40或90（x）﹣60x＝40或40x+180﹣（60x+40）＝40，解得x＝或x＝或x＝55+（小时）．答：甲出发小时或小时或小时后，甲乙两车相距40km．3、有一科技小组进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7min同时到达C点，甲机器人前3分钟以am/min的速度行走，乙机器人始终以60m/min的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（m）与他们的行走时间x（min）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：（1）A、B两点之间的距离是m，A、C两点之间的距离是m，a＝m/min．（2）求线段EF所在直线的函数表达式．（3）设线段FG∥x轴，直接写出两机器人出发多长时间相距28m．解：（1）由图象可知，A、B两点之间的距离是70米，甲机器人前2分钟的速度为：（70+60×2）÷2＝95（米/分）；即a＝95；A、C两点之间的距离是：70+60×7＝490（m）．故答案为：70；490；95；（2）设线段EF所在直线的函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），∵1×（95﹣60）＝35，∴点F的坐标为（3，35），则，解得，则线段EF所在直线的函数解析式为y＝35x﹣70；（3）如图，设D（0，70），H（7，0）．∵D（0，70），E（2，0），∴线段DE所在直线的函数解析式为y＝﹣35x+70，∵G（4，35），H（7，0），∴线段GH所在直线的函数解析式为y＝，设两机器人出发tmin时相距28m，由题意，可得﹣35x+70＝28，或35x﹣70＝28，或，解得t＝1.2，或t＝2.8，或t＝4.6．即两机器人出发1.2或2.8或4.6min时相距28m．4、某种汽车油箱的容量为250升，开始出发后在平路上匀速行驶了4小时，汽车油箱的剩余油量是150升；之后该车又在上坡路上匀速行驶了2小时，此时汽车油箱的剩余油量是90升．这种汽车油箱的剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的部分函数图象如图所示．（1）求y与x的函数解析式（也称关系式），并直接写出自变量x的取值范围；（2）如果6.5小时后该车还一直在上坡路上匀速行驶，问最多还能够行驶多少小时？解：（1）当0≤x≤4时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，，得，即0≤x≤4时，y与x的函数关系式为y＝﹣25x+250，当4＜x≤6时，设y与x的函数关系式为y＝mx+n，，得，即当x＞4时，y与x的函数关系式为y＝﹣30x+270，由上可得，y与x的函数关系式为y＝；（2）令﹣30x+270＝0，得x＝9，9﹣6.5＝2.5（小时），即如果6.5小时后该车还一直在上坡路上匀速行驶，最多还能够行驶2.5小时．5、根据国家颁布的“养老保险执行标准”绘制出我市行政事业人员的养老保险个人月缴费y（元）随个人月工资x（元）变化的图象如图～所示，请你根据图象解答下面的问题：（1）教数学的张老师是中学一级教师，月工资是1568元，张老师每月应缴纳养老保险多少元？（2）教英语的陈老师是位高级教师，他每月要缴纳养老保险140.21元，求陈老师的每月工资是多少元？解：（1）由题意，设y＝kx+b（x≥557）．∵（557，38.99），（1986，139.02）在此函数的图象上，∴，解得．∴y＝0.07x．当x＝1568时，y＝0.07×1568＝109.76．故张老师每月应缴纳养老保险109.76元；（2）∵y＝0.07x，∴当y＝140.21时，0.07x＝140.21，解得x＝2003．故陈老师的每月工资是2003元．6、甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线OBCDA表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：（1）当轿车刚到乙地时，此时货车距离乙地千米；（2）当轿车与货车相遇时，求此时x的值；（3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x的值．解：（1）根据图象信息：货车的速度V货＝，∵轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时，∴轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：4.5×60＝270（千米），此时，货车距乙地的路程为：300﹣270＝30（千米）．所以轿车到达乙地后，货车距乙地30千米．故答案为：30；（2）设CD段函数解析式为y＝kx+b（k≠0）（2.5≤x≤4.5）．∵C（2.5，80），D（4.5，300）在其图象上，，解得，∴CD段函数解析式：y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；易得OA：y＝60x，，解得，∴当x＝3.9时，轿车与货车相遇；（3）当x＝2.5时，y货＝150，两车相距＝150﹣80＝70＞20，由题意60x﹣（110x﹣195）＝20或110x﹣195﹣60x＝20，解得x＝3.5或4.3小时．答：在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，x的值为3.5或4.3小时．7、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在同一条公路上，匀速行驶，相向而行，到两车相遇时停止．甲车行驶一段时间后，因故停车0.5小时，故障解除后，继续以原速向B地行驶，两车之间的路程y（千米）与出发后所用时间x（小时）之间的函数关系如图所示．（1）求甲、乙两车行驶的速度V甲、V乙．（2）求m的值．（3）若甲车没有故障停车，求可以提前多长时间两车相遇．解：（1）由图可得，，解得，，答：甲的速度是60km/h乙的速度是80km/h；（2）m＝（1.5﹣1）×（60+80）＝0.5×140＝70，即m的值是70；（3）甲车没有故障停车，则甲乙相遇所用的时间为：180÷（60+80）＝，若甲车没有故障停车，则可以提前：1.5﹣＝（小时）两车相遇，即若甲车没有故障停车，可以提前小时两车相遇．8、甲船往返于A、B两码头，离开码头A的距离s（千米）与的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求当3≤t≤8时，s（千米）与t（小时）之间的函数关系式；（2）当甲船由A驶向B，到达距A处25千米的C时，乙船从C处出发以5千米/小时的速度驶向B，到达B后停止．在图中画出乙船离开A的距离s（千米）与航行的时间t（小时）之间的函数图象．解：（1）设S＝kt+b，由题意得，解这个方程组，得；所以当3≤t≤8时，s与t之间的关系式是S＝﹣15t+120．（2）由题意得，BC之间的路程为75﹣25＝50千米，所以，由C到B所用时间为：50÷5＝10小时；所以，函数图象为：如图．9、如图、这是小明骑自行车外出旅游时间的路程S（千米）与时间t（小时）间的函数关系图，观察图中提供的数据，解答下列问题．（1）小时在途中停了多长时间？（2）他在2.5至4小时这段时间内的平均速度是多少？（3）求当2.5≤t≤4时，s和t的函数关系式．解：（1）根据图象知道：小明在2﹣2.5之间停下了，∴他在途中停了2.5﹣2＝1.5小时；（2）他在2.5至4小时这段时间内的平均速度是（45﹣30）÷（4﹣2.5）＝10千米每小时；（3）根据图象知道图象经过（2.5，30），（4，45）两点，设函数解析式为s＝kt+b，∴，解之得：k＝10，b＝5，∴s＝10t+5（2.5≤x≤4）．10、如图是某汽车行驶的路程s（千米）与时间t（分钟）的函数关系图．观察图中所提供的信息，解答下列问题：（1）汽车在前9分钟的平均速度是千米/分钟．（2）汽车在途中停留的时间为分钟．（3）当16≤t≤30时，求s与t的函数解析式．解：（1）由图象得，平均速度＝（千米/分钟）；（2）由图象可知汽车在途中停留的时间＝16﹣9＝7（分钟）；（3）设该一次函数的解析式为s＝mt+n，由图可知，图象经过点（16，12）和（30，40），因此可列如下方程组，解得m＝2，n＝﹣20，∴所求的函数解析式为s＝2t﹣20．答：（1）；（2）7；（3）所求的函数解析式为s＝2t﹣20．11、如图，lA、lB分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系．（1）B出发时与A相距千米．（2）走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是小时．（3）B出发后小时与A相遇．（4）若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，小时与A相遇，相遇点离B的出发点千米．在图中表示出这个相遇点C．（5）求出A行走的路程S与时间t的函数关系式．解：（1）B出发时与A相距10千米．故答案为：10；（2）修理自行车的时间为：1.5﹣05＝1小时．故答案为：1；（3）由图象得：3小时时相遇，故答案为：3；（4）设lA：S1＝at+b，且过（0，10）和（3，22），∴，解得：，∴S1＝4t+10，设B修车前的关系式为：S2＝kt，过（0.5，7.5）点．7.5＝0.