自学考试真题：1404全国自考线性代数(经管类)试题及答案

绝密★考试结束前全国2014年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。选择题部分注意事项：1．答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。1．设行列式11122122aaaa=3，则行列式111211212221a2a5aa2a5a=CA．-15B．-6C．6D．15111211111211111112212221212221212122a2a5aa2aa5aaa26a2a5aa2aa5aaa2．设A，B为4阶非零矩阵，且AB=0，若r(A)=3，则r(B)=AA．1B．2C．3D．4设A为s×m矩阵，B为m×n矩阵，则r（AB）≥r（A）+r（B）-m。本题0≥3+r（B）-4则r（B）≤1，又因为A为非零矩阵，所以r（B）≥1所以r（B）=13．设向量组=(1，0，0)T，=(0，1，0)T，则下列向量中可由121，2线性表出的是BA．(0，-1，2)TB．(-1，2，0)TC．(-1，0，2)TD．(1，2，-1)T设β由，线性表出，则β=k1α1+k2α2=（k1，k2,0）T124．设A为3阶矩阵，且r(A)=2，若1，2为齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解。k为任意常数，则方程组Ax=0的通解为DA．kB．k12C．1k22D．12k2P112定理4.1Ax=0的基础解系包含1个解向量。α1，是不同的解，（α1-α2）/2是非零解，可以作为基础解系，通解为k（α1-α2）/2，k∈R。C选项，不正确，因为α1+α2可能为零解。5．二次型f(x1,x2,x3)=x12+2x22+x32-2x1x2+4x1x3-2x2x3的矩阵是C非选择题部分注意事项：用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6．3阶行列式234152111第2行元素的代数余子式之和A21+A22+A23=0．P17定理1.3.1A21+A22+A23=a31A21+a32A22+a33A23=07．设A为3阶矩阵，且|A|=2，则|A*|=4．P52例3设A为n阶方阵，则|A*|=|A|n-18．设矩阵A=，B=102010301010，则ABT=________．T3010210010100110AB9．设A为2阶矩阵，且|A|=13则|(-3A)-l|=，1/3．AA-1=E|AA-1|=|E|=1|A||A-1|=1|A-1|=1/|A||(-3A)-l|=1/|-3A|=1/(-3)2|A|=1/310．若向量组=(1，-2，2)T，=(2，0，1)T，312=(3，k，3)T线性相关，则数k=-2．P90α1,α2,α3线性相关，则存在3个不全为零的数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0，也就是这个齐次线性方程组有非零解。所以12320360,2213kkk所以。11．与向量(3，-4)正交的一个单位向量为________．设该单位向量为（a，b），则3a+(-4)b=0且a2+b2=1。所以434,,555abab35或。所以该单位向量为4343(,),5555或(-)。12．齐次线性方程组的基础解系所含解向量个数为__1___．1231232xx3x02xx3x021321321-300-6A系数矩阵，r(A)=2,3个未知量，所以基础解系所含解向量个数为1个。13．设3阶矩阵A的秩为2，，12为非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，则方程组Ax=b的通解为________．导出组Ax=0的基础解系包含一个解向量，而α1-α2是导出组Ax=0的解，所以Ax=b的通解为η=α1+k(α1-α2),k为任意实数。14．设A为n阶矩阵，且满足|E+2A|=0，则A必有一个特征值为___-1/2_____．|E+2A|=0则(-2)n|(-1/2)E-A|=0即|(-1/2)E-A|=0所以A必有一个特征值为-1/2。P12915．二次型f(x1,x2,x3)=x12+2x1x2+x22+x32的正惯性指数为___2__．f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+x32令11223,,zxxzx2212则f=z+z三、计算题(本大题共7小题，每小题9分，其63分)16．计算行列式D=1324413224133241的值.1132132410101010111111114132413241320312D10102413241302112413324132410112324131240444101(1)21110101101(1)1088011112112132413241320115D02324130723241或111141151411514141(1)235235572117211111101111011232723272350232711(1)880728891172110728817．设矩阵A=，B=，求可逆矩阵P，使得PA=B.111213212223313233aaaaaaaaa212223113112321333313233aaaa3aa3aa3aaaaP65定理2.5.1将A进行一系列的行初等变换转换为B，每进行一次行初等变换就是在A的左边乘上对应的初等方阵。从题中可知矩阵B是将矩阵A第一、二行交换，然后第二行减去第3行的3倍得到的。即：100010100010010013100=013100=10-3001001001001001ABP，所以18．设矩阵A=，B=，矩阵X满足XA=B，求X.112223433100211122XA=B等式两侧同时右乘A-1，则X=BA-1，先求A-1431125112100112100,223010001210433001015401112100112100015401015401001210001210110320010651001210AE②-2①③①②②③③①③②③1311100331010651,001210331100331331651,21165122121012221011113TTTTTEAAXBAXABXABAXB①②，对等式两边同时转置，得（），即21145124121124121,=12301200111323301201523412412112412100111301523401523400111312001000TTAB②-①③①②③②③①③②③。23211100321132110103211111300111332113313211,22111311113TXX①②所以从而或者695P参考例19．求向量组=(1，-1，2，1)T,=(1，0，1，2)T,123=(0，2，0，1)T,4=(-1，0，-3，-1)T,5=(4，-1，5，7)T的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出．21234512111014110141020101213,,,,210350101312117011031101411014012130121300220001100011000110A②①③①④①③③②④②④212345123412351110141101410021012130101301013001100011000110000000000000000,,,,,,=-2+-=+3B④-③②③①②记为显而易见，r(A)=3,是一个极大线性无关组。，2。20．求线性方程组的通解．(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)22134210121101211012121314011320113212345022640000011213011320000021Axxxxxxxx②①③①③②④①④②1234取、为约束未知数，、为自由未知数。令自由未知数全部为0，代入方程组*3413423412*-1-2,x=b=32002010==3001-1-2-13==x=01001=AxxxxxxxxxxxxAk3344得的一个特解为：。令自由未知数分别取值为：，，分别代入方程组得，为导出组的基础解系。所求通解为：11221212-1-1-2-2-13,010001kkkkk、为任意实数。21．已知矩阵A=的一个特征值为1，求数a，并求正交矩阵Q和对角矩阵，20002101a使得Q-1AQ=．1231-10011===0-1-120110-11-0210-1(2)(1)(2)(3)120-12=1=2=3-100-100=1=0-1-10-1-10-1-1000EAEAEAaaaaEAEA将1代入，得得=2，则矩阵A的特征值为：，，当时，123121000110000,1=11000010=2=00-10010-10000xxxpAEA