2020版高考新素养大一轮理科数学教师用书

第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算考纲要求考情分析命题趋势核心素养1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.2018·全国卷Ⅰ，22018·全国卷Ⅱ，22018·全国卷Ⅲ，12018·天津卷，12018·浙江卷，12018·江苏卷，11.利用集合的含义与表示求集合的元素或元素的个数．2．根据集合间的关系求集合子集的个数、参数的取值或范围．3．考查数集的交集、并集、补集的基本运算．4．常运用数轴或韦恩图及数形结合思想来求解含未知参数的集合问题．5．以集合为载体结合其他数学知识考查新概念、新性质、新法则的创新问题的应用.本讲内容主要考查数学抽象和数学运算的核心素养.分值：5分[知识梳理]1．元素与集合(1)集合元素的特性：__确定性__、__互异性__、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作__a∈A__；若b不属于集合A，记作__b∉A__.(3)集合的表示方法：__列举法__、__描述法__、图示法．(4)常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号__N____N*或N＋____Z____Q____R__2.集合间的基本关系表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素__A⊆B__或__B⊇A__真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A__AB__或__BA__相等集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素A⊆B且B⊆A⇔A＝B空集空集是__任何__集合的子集∅⊆A空集是__任何非空__集合的真子集∅B且B≠∅3.集合的基本运算(1)三种基本运算的概念及表示并集交集补集图形符号A∪B＝__{x|x∈A或x∈B}__A∩B＝__{x|x∈A且x∈B}__∁UA＝__{x|x∈U且x∉A}__(2)三种基本运算的常见性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；②A∩A＝__A__，A∩∅＝__∅__；③A∪A＝__A__，A∪∅＝__A__；④A∩(∁UA)＝__∅__，A∪(∁UA)＝__U__，∁U(∁UA)＝__A__；⑤A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔(∁UA)⊇(∁UB)⇔A∩(∁UB)＝∅；⑥∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．[对点检测]1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)集合{x2＋x,0}中，实数x可取任意值．()(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(3)若AB，则A⊆B，且A≠B.()(4)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．()解析(1)错误．由元素的互异性知x2＋x≠0，即x≠0且x≠－1.(2)错误．集合{x|y＝x2＋1}表示函数y＝x2＋1中x的取值范围，即{x|y＝x2＋1}＝R，而集合{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}表示函数中y的取值范围，而集合{(x，y)|y＝x2＋1}表示抛物线上的点集．(3)正确．AB表示A是B的真子集．(4)正确．因为(A∩B)⊆A，而A⊆(A∪B)，所以(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．已知全集U＝R，那么正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是()B解析因为M＝{－1,0,1}，N＝{0，－1}，所以NM.故选B．3．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝()A．{0}B．{1}C．{1,2}D．{0,1,2}C解析A＝{x|x≥1}，所以A，B中有公共元素1,2.故选C．4．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．4A解析集合A表示满足条件x2＋y2≤3，且x，y∈Z的有序数对(点)的个数，即(－1,0)，(－1，－1)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共9个数对(9个点)．5．(2018·浙江卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁UA＝()A．∅B．{1,3}C．{2,4,5}D．{1,2,3,4,5}C解析因为∁UA中元素为U中元素去掉A中元素后剩余元素构成的集合，故∁UA＝{2,4,5}．[考法精讲]考法一集合的含义与表示归纳总结与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．【例1】(1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1B．3C．5D．9(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝()A．92B．98C．0D．0或98解析(1)因为A＝{0,1,2}，所以B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2，1,2}．故集合B中有5个元素．(2)当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝98.故a的值为0或98.答案(1)C(2)D考法二集合的基本关系归纳总结(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．【例2】(1)已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是()A．A＝BB．A∩B＝∅C．A⊆BD．B⊆A(2)已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是()A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0]解析(1)由x＋30得x－3，所以A＝{x|x－3}，所以B⊆A．(2)A＝{x|0≤x≤2}，由A⊆B知a≥2即可．答案(1)D(2)A考法三集合的基本运算归纳总结集合基本运算的求解规律(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解．(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况．(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解．【例3】(1)已知集合A＝xx＋4x－1≤0，B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝()A．(0,4]B．(0,1)C．(0,1]D．[－4,1](2)(2019·黄冈调研)已知函数f(x)＝11－x2的定义域为M，g(x)＝ln(1－x)的定义域为N，则M∪(∁RN)＝()A．{x|x－1}B．{x|x≥1}C．∅D．{x|－1＜x＜1}(3)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝()A．0或3B．0或3C．1或3D．1或3解析(1)因为A＝{x|－4≤x1}，B＝{y|y0}，所以A∩B＝(0,1)．故选B．(2)由1－x0得N＝{x|x1}，∁RN＝{x|x≥1}，而由1－x20得M＝{x|－1x1}，所以M∪(∁RN)＝{x|x－1}．(3)因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以m∈A，所以m＝3或m＝m，解得m＝0或3.故选B．答案(1)B(2)A(3)B考法四集合中的新定义问题解题技巧集合中的新定义问题(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．(2)把握“新”性质：用好集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．【例4】(1)(2019·武汉调研)设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10＜0}，则A－B＝()A．{0,1}B．{1,2}C．{0,1,2}D．{0,1,2,5}(2)若对任意的x∈A，有1x∈A，则称A是“伙伴关系集合”，则集合M＝－1，0，12，1，2的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为__________．解析(1)A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x|2x5}，所以A－B＝{0,1,2,5}．(2)具有伙伴关系的元素组有－1；1；2和12共三组，它们中任一组、两组、三组均可组成非空伙伴关系集合，所以非空伙伴关系集合分别为{1}，{－1}，12，2，{－1,1}，－1，12，2，1，12，2，－1，1，12，2，共7个．答案(1)D(2)7[递进题组]1．[考法三]设集合A＝x12＜x＜2，B＝{x|x2＜1}，则A∪B＝()A．{x|1＜x＜2}B．{x|－1＜x＜2}C．x12＜x＜1D．{x|－1＜x＜1}B解析由x21得B＝{x|－1x1}，所以A∪B＝{x|－1x2}．2．[考法一](2019·巴蜀中学月考)已知集合A＝{x|x∈Z，且32－x∈Z}，则集合A中的元素个数为()A．2B．3C．4D．5C解析由32－x∈Z知2－x的值可为±1，±3，又x∈Z，所以由2－x＝±1得x＝1或3，由2－x＝±3得x＝－1或5.故选C．3．[考法二]已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0x5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1B．2C．3D．4D解析A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，因为A⊆C⊆B，所以满足条件的集合C有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．故选D．4．[考法二]设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(∁UA)∩B＝∅，则m的值是__________．解析A＝{－1，－2}，由x2＋(m＋1)x＋m＝0得x＝－1或x＝－m.因为(∁UA)∩B＝∅，所以B⊆A，所以－m＝－1或－m＝－2，所以m＝1或2.答案1或25．[考法四]设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0x2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝__________.解析A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|0x2}，则A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．答案{0}∪[2，＋∞)6．[考法二]设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，ba，b，则b－a＝__________.解析由{1，a＋b，a}＝0，ba，b，可知a≠0，则只能a＋b＝0，则有①a＋b＝0，ba＝a，b＝1或②a＋b＝0，b＝a，ba＝1，由①得a＝－1，b＝1，②无解，则b－a＝2.答案2易错点在集合的关系中忽略空集【典例】已知集合A＝{x|1ax2}，B＝{x||x|1}，满足A⊆B，则实数a的取值范围是__________．错解：{a|a≥2或a≤－2}错因分析：空集是任何集合的子集，在本题中忽略了当a＝0时，A＝∅也满足A⊆B的情况，从而造成漏解．正解：B＝{x||x|1}＝{x|－1x