专题31 极值点偏移问题的研究(原卷版)

专题31极值点偏移问题的研究一、题型选讲题型一、常见的极值点偏移问题常见的极值点偏移问题主要有以下几种题型：1.若函数)(xf存在两个零点21,xx且21xx,求证：0212xxx(0x为函数)(xf的极值点)；2.若函数)(xf中存在21,xx且21xx满足)()(21xfxf,求证：0212xxx(0x为函数)(xf的极值点)；3.若函数)(xf存在两个零点21,xx且21xx,令2210xxx,求证：0)('0xf；例1、(2019无锡期末)已知函数f(x)＝ex－a2x2－ax(a0)．(1)当a＝1时,求证：对于任意x0,都有f(x)0成立；(2)若函数y＝f(x)恰好在x＝x1和x＝x2两处取得极值,求证：x1＋x22lna.例2、(2018常州期末)已知函数f(x)＝lnx（x＋a）2,其中a为常数．(1)若a＝0,求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)在(0,－a)上单调递增,求实数a的取值范围；(3)若a＝－1,设函数f(x)在(0,1)上的极值点为x0,求证：f(x0)－2.例3、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)设函数f(x)＝x－asinx(a0)．(1)若函数y＝f(x)是R上的单调增函数,求实数a的取值范围；(2)设a＝12,g(x)＝f(x)＋blnx＋1(b∈R,b≠0),g′(x)是g(x)的导函数．①若对任意的x0,g′(x)0,求证：存在x0,使g(x0)0；②若g(x1)＝g(x2)(x1≠x2),求证：x1x24b2.例4、(2018南通、泰州一调)已知函数g(x)＝x3＋ax2＋bx(a,b∈R)有极值,且函数f(x)＝(x＋a)ex的极值点是g(x)的极值点,其中e是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式；(2)当a0时,若函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值为M(a),证明：M(a)－73.题型二、构造函数的极值点偏移问题(1)求出函数)(xf的极值点0x；(2)构造一元差函数)()()(00xxfxxfxF；(3)确定函数)(xF的单调性；(4)结合0)0(F,判断)(xF的符号,从而确定)(0xxf、)(0xxf的大小关系.例5、(2017苏州期末)已知函数f(x)＝(lnx－k－1)x(k∈R)．(1)当x＞1时,求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若对于任意x∈[e,e2],都有f(x)＜4lnx成立,求实数k的取值范围；(3)若x1≠x2,且f(x1)＝f(x2),证明：x1x2＜e2k.例6、(2019南通、泰州、扬州一调)已知函数f(x)＝ax＋lnx(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设f(x)的导函数为f′(x),若f(x)有两个不相同的零点x1,x2.①求实数a的取值范围；②证明：x1f′(x1)＋x2f′(x2)2lna＋2.二、达标训练1、(2018常州期末)已知函数f(x)＝lnx（x＋a）2,其中a为常数．(1)若a＝0,求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)在(0,－a)上单调递增,求实数a的取值范围；(3)若a＝－1,设函数f(x)在(0,1)上的极值点为x0,求证：f(x0)－2.2、(2017南京学情调研)已知函数f(x)＝ax2－bx＋lnx,a,b∈R.(1)当a＝b＝1时,求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；(2)当b＝2a＋1时,讨论函数f(x)的单调性；(3)当a＝1,b＞3时,记函数f(x)的导函数f′(x)的两个零点是x1和x2(x1＜x2),求证：f(x1)－f(x2)＞34－ln2.3、已知函数2ln2,gxxaxaxaR.(1)求gx的单调区间；(2)若函数212fxgxaxx,1212,()xxxx是函数fx的两个零点,fx是函数fx的导函数,证明：1202xxf.4、已知函数ln(,fxaxxbab为实数)的图像在点1,1f处的切线方程为1yx.(1)求实数,ab的值及函数fx的单调区间；(2)设函数1fxgxx,证明1212()gxgxxx时,122xx.5、过点𝑃(−1,0)作曲线𝑓(𝑥)=𝑒𝑥的切线𝑙．(1)求切线𝑙的方程；(2)若直线𝑙与曲线𝑦=𝑎𝑓(𝑥) (𝑎∈𝑅)交于不同的两点𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2),求证：𝑥1+𝑥2−4．