函数零点综合难题

Gothedistance1函数零点综合难题1.已知函数0,10,3)(xxxxaxfx，若关于x的方程0)(xff有且仅有一解，则实数a的取值范围是（）A、），（0-B、），（），（100-C、），（10D、），（），（1102.已知函数)(xf)0(1)1()0(12xxfxx，把函数1)()(xxfxg的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，记该数列的前n项和为nS，则10S=（A）A.45B.55C.129D.12103．设01..ba若关于x的不等式22xbax的解集中的整数恰有3个，则（C）A,10aB.01aC.13aD.36aGothedistance2类似题目：（1）若关于x的不等式22(21)xax≤的解集中的整数恰有2个，则实数a的取值范围是．由题意易得0a，已知条件可等价化为|||12|xax，转化为12|21|||yxyax与满足12yyx的恰有2个整数解，运用数形结合思想，利用绝对值函数的图像可得3523a，解得92549a，所以实数a的取值范围是925[,)49。（2）设m∈N，若函数()21010fxxmxm存在整数零点，则m的取值集合为．解当x∈Z，且x≤10时，10mx∈Z．若m=0，则x=-5为函数f(x)的整数零点．若m≠0，则令f(x)=0，得m=210101xx∈N．注意到-5≤x≤10，且10x∈N，得x∈{1，6，9，10}，此时m∈{3，223，14，30}．故m的取值集合为{0，3，14，30}．（3）若函数f(x)=x3-ax2(a0)在区间20(,)3上是单调递增函数，则使方程f(x)=1000有整数解的实数a的个数是．解令由22()323()03afxxaxxx，得x=0或23ax．于是，f(x)的单调增区间为(,0)和2(,)3a．所以220033a，即0a≤10．因f(x)的极大值为f(0)=0，故f(x)=1000的整数解只能在2(,)3a上取得．令x3-ax2=1000，则a=21000xx．令g(x)=21000xx，则32000()1gxx0，故g(x)在2(,)3a为增函数．因g(10)=0，g(15)=510109，故方程f(x)=1000的整数解集为{11，12，13，14}．从而对应的实数a亦有4个不同的值．4.已知函数()fx的定义域为R，,01,()1()1,10,2xxxfxx且对于任意的xR都有(1)(1)fxfx，若在区间[1,3]上函数()()gxfxmxm恰有四个不同零点，则实数m的取值范围为(D)A.1[0,]2B.1[0,)4C.1(0,]2D.1(0,]45.已知a0且a1,当x(-1，1)时，不等式x2-ax21恒成立，则a的取值范围2,11,21Gothedistance3解析：不等式x2-ax21可化为axx2-21画出y1=ax,y2=x2-21的图像。由图可看出21a1或1a26.关于x的方程0922axax（Ra）有唯一的实数根，则a3．7.若函数2()2(0)fxxaxa没有零点，则a的取值范围。a＞2或0＜a＜18.若方程8xxb有两个不相等的实数根，求b的取值范围．解析：因为0x≥，所以，方程8xxb有两个不相等的实数解，就是函数8yxxb在［0，+∞）上有两个不同的零点，函数8yxxb可视为关于x的一元二次函数，令xt，可得2()8yftttb，作出它的图象，如图3，通过观察图象应有(0)0(4)0ff，，≥，解得016b≤，即b的取值范围是[016)，．类似题目（1）若关于x的方程3xexkx有四个实数根,则实数k的取值范围是_______.0,3e1Gothedistance4（2）若关于x的方程x4+ax3+ax2+ax+1=0有实数根，则实数a的取值范围为．解法1因x≠0，故将方程两边同除以x3，并变形得211()()2xaxaxx=0．令g(t)=22tata，t=1xx∈(,2][2,)．原方程有实数根，等价于函数g(t)有零点．因g(-1)=-1，故函数g(t)有零点，只须g(-2)≤0或g(2)≤0．解g(-2)≤0，得a≥2；解g(2)≤0，得a≤23．所以，实数a的取值范围为2(,][2,)3．解法2易知x=0不是方程的根，故x3+x2+x=213(())24xx≠0．所以，a=4321xxxx=22111xxxx=212()11xxxx=12tt∈2(,][2,)3，其中t=11xx∈(,1][3,)．解法3接解法2，a=4321xxxx，于是2432322(1)(2421)()xxxxxaxxx．因4322421xxxx=x2(x+1)2+(x+1)2+2x20，故由0a可解得x=1或-1．当x0时，a0，且当x=1时，a取极大值23，故此时a≤23；当x0时，a0，且当x=-1时，a取极小值2，故此时a≥2．综上，实数a的取值范围为2(,][2,)3．Gothedistance59.32()2lnfxxexmxx,记()()fxgxx,若函数()gx至少存在一个零点,则实数m的取值范围是______.21(,]ee类似题目（1）已知函数ln(),()xfxkxgxx，如果关于x的方程()()fxgx在区间1[,]ee内有两个实数解，那么实数k的取值范围是.211[,)2ee10.已知函数f(x)=||x﹣1|﹣1|,若关于x的方程f(x)=m(m∈R)恰有四个互不相等的实数根x1,x2,x3,x4,则x1x2x3x4的取值范围是__________.(﹣3,0)Gothedistance6类似题目（1）已知函数1()lg2xfxx有两个零点12xx、,则有（D）A.120xxB.121xxC.121xxD.1201xx（2）设函数21(),()(,,0)fxgxaxbxabRax，若两函数图像仅有两个不同的公共点1122(,),(,)AxyBxy,则下列判断正确的是（）1212.0+0,0Aaxxyy当时，1212.0+0,0Baxxyy当时，1212.0+0,0Caxxyy当时，1212.0+0,0Daxxyy当时，Gothedistance7解析:令，则，设，令，则，要使y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点只需，整理得，于是可取来研究，当时，，解得，此时，此时；当时，，解得，此时，此时.答案应选B。（3）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝a2－ab，a≤b，b2－ab，a＞b.设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．1－316，0解析f(x)＝(2x－1)*(x－1)＝2x－12－2x－1x－1，x≤0，x－12－2x－1x－1，x＞0，即f(x)＝2x2－x，x≤0，－x2＋x，x＞0.如图所示，关于x的方程f(x)＝m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，即函数f(x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，则0＜m＜14.不妨设从左到右的交点的横坐标分别为x1，x2，x3.当x＞0时，－x2＋x＝m，即x2－x＋m＝0，∴x2＋x3＝1，∴0＜x2x3＜x2＋x322，即0＜x2x3＜14；Gothedistance8当x＜0时，由2x2－x＝14，x＜0，得x＝1－34，∴1－34＜x1＜0，∴0＜－x1＜3－14.∴0＜－x1x2x3＜3－116，∴1－316＜x1x2x3＜0.11.已知函数2342011()12342011xxxxfxx，2342011()12342011xxxxgxx，设()(3)(3)Fxfxgx，且函数F(x)的零点均在区间[,](,,)abababZ内，则ba的最小值为．解23420092010()1fxxxxxxx=20111,1,12011,1.xxxx当x≥0时，()0fx；当-1x0时，()0fx；当x-1时，()0fx，故函数f(x)为R上的增函数，于是函数f(x)在R上最多只有一个零点．因f(0)=10，f(-1)=111111(11)()()()2345201020110，故f(0)f(-1)0，因而f(x)在R上唯一零点在区间(-1，0)上，于是f(x+3)的唯一零点在区间(-4，-3)上．同理可得，函数g(x)为R上的减函数，于是函数f(x)在R上最多只有一个零点．又g(1)=111111(11)()()()2345201020110，g(2)=242010121212(12)2()2()2()2345201020110，于是g(1)g(2)0，因而g(x)在R上唯一零点在区间(1，2)上，于是g(x-3)的唯一零点在区间(4，5)上．所以，F(x)的两零点落在区间[-4，5]上，b-a的最小值为9．12.若函数f(x)=|sinx|(x≥0)的图象与过原点的直线有且只有三个交点，交点中横坐标的最大值为α，则2(1)sin2=．解依题意，画出示意图如图8所示．于是，3(,2)2，且A(α，-sinα)为直线y=kx与函数y=-sinx(3(,2)2x)图象的切点．在A点处的切线斜率为sincos，故α=tanα．所以，2(1)sin2=2(1tan)sin2tan=sin2cossin=213.已知函数||()||xafxxa,则下列说法中正确的是．A.若0a，则()1fx恒成立B.若()1fx恒成立，则0aC.若0a，则关于x的方程()fxa有解D.若关于x的方程()fxa有解，则01aAxyOy=kxy=sinxαπ2π图8Gothedistance914.定义在R上的函数1ln)(2xexfx，且)()(xftxf＞在，1x上恒成立，则关于x的方程(21)()fxfte的根的个数叙述正确的是().[来源:Z+xx+k.Com]A．有两个B．有一个C．没有D．上述情况都有可能15.已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，),1()(xexfx给出以下命题：①当x0时，)1()(xexfx；②函数)(xf有五个零点；[来源:学科网]③若关于x的方程mxf)(有解，则实数m的取值范围是)2()2(fmf；④对1221,,()()2xxRfxfx恒成立.其中，正确命题的序号是.【答案】①④.Gothedistance10[来源由图可知，若关于x的方程mxf)(有解，则11m，且对1221,,()()2xxRfxfx恒成立.16．设定义域为R的函数,0,20|,lg|)(2xxxxxxf若关于x的方程01)(2)(22xbfxf有8个不同的实数根,则实数b的取值范围是_______.【答案】3(,2)2类似题目:已知函数()xfxxe，方程2()()10()fxtfxtR有四个实数根，则t的取值范围（B）A