工程力学-组合变形

在复杂外荷载作用下，构件的变形包含两种或两种以上的基本变形，若几种变形所对应的应力属于同一数量级而不能忽略，则构件的变形称为组合变形。§8.1组合变形和叠加原理一、组合变形：MePFzxyP二、组合变形的研究方法——叠加原理①首先将作用在杆件上的荷载加以简化和分组，使简化后的每组荷载各自产生一种基本变形。②分别计算每一种基本变形引起的内力、应力和变形。③将以上应力、变形叠加。适用前提：小变形、线弹性，从而内力、应力和位移与外力成线性关系。三、本章研究的组合变形：①轴向拉压与弯曲的组合。②扭转与弯曲的组合。§8.2轴向拉伸或压缩与弯曲的组合一、轴向拉伸或压缩与横力弯曲的组合本节只限于讨论抗弯刚度EI较大的杆，这时横向力引起的弯曲变形很小，则轴向力因弯曲变形而产生的弯矩可略去。这样，轴向力就只引起拉伸或压缩变形，而不引起弯曲变形，叠加原理就可以应用了。则杆横截面上任一点的正应力为：NMPF[例1]最大吊重G＝8kN的起重机如图(a)所示(单位：mm)。其中AB杆为工字钢，材料为Q235钢，[]＝100MPa，试选择工字钢型号。0:AM0.82.58(2.51.5)02.62F42kNF解得：解：AB杆受力如图(b)所示，设CD杆拉力为F，列平衡方程：2.52.62xFF0.82.62yFF40kN，12.8kN可见AB杆在AC段内产生压缩与弯曲的组合变形。作出AB杆的弯矩图和轴力图如图(c)所示。maxMW强度计算时，先不考虑杆轴力的影响，只根据弯曲强度条件初选工字钢。则从图中可看出，C截面左侧为危险截面。5331210m120cm36121010010N()40kNLCF12kNmCM选定工字钢后再进行强度校核。知危险点位于危险截面C左侧的下边缘，发生有绝对值最大正应力（压），大小为Nmax()LCCFMAW即最大正应力与许用应力[]＝100MPa接近相等，故无需重新选取截面的型号。查型钢表，初选16号工字钢，W＝141cm3，A＝26.1cm2。33464010121026.11014110100.5MPa如果作用在直杆上的外力，其作用线与杆轴线平行但不通过杆件横截面的形心，则引起偏心拉伸/压缩。二、偏心拉伸或压缩1、分解：F首先建立坐标系。以杆轴线为x轴，横截面的两个形心主轴分别为y、z轴。xyzFMzMyxyzFMzxyzAFAzzMyIyyMzI2、应力分析：设偏心拉力F在端截面上的作用点为A(yF,zF)，则yFzFMFzMFy于是：再注意到：22yyzzIAiIAiyzyzMzMyFAII221FFyzzzyyFAii在杆的任一横截面上，有xyzFMzMyFMyMzyzAyz中性轴中性轴是一条不通过横截面形心的直线，它在y、z两轴上的截距分别为4、危险点3、中性轴方程111222maxmin(,)(,),DyzDyz000022(,)10FFyzyzzzyyFAii002210FFyzzyzyii22,yzyzFFiiaayz危险点即距中性轴最远的点D1、D2。若max0，则为tmax；若min0，则为cmax。中性轴与偏心力作用点分别位于截面形心两侧ayaz1D2D11.7MPa()压8.75MPa()压1max1PA2max22zPMAW33235010(35010)0.050.20.30.20.3/6解：两柱横截面上的绝对值最大正应力均为压应力。[例2]图示等截面与不等截面柱，受力P=350kN，试分别求出两柱内的绝对值最大正应力。图1图2偏心距e50mm3350100.20.2MPPeP200P30020054747.2710mm7.2710mPPMN0(2010)(20)100102010Cz323210100(10100)5121020(1020)2512CyI[例3]图示钢板受力P=100kN，试求最大正应力。若将缺口移至板宽的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度为多少？解：（一）内力分析如图坐标如图，挖孔处的形心3(510)500NmMPPP2010020yzyC105mmPPMN125MPa37.8MPa应力分析如图336710010500(5510)800107.2710（二）求孔移至板中间，且使最大正应力保持不变时的挖空宽度maxNA38.6mmxmaxmaxycMzNAI＋162.8MPa32610010614.3mm162.81010(100)x2010020yzyC10[例4]小型压力机的铸铁框架如图(a)所示。已知材料的许用拉应力＝30MPa，许用压应力＝160MPa。试按立柱强度确定压力机的最大许可压力FP。立柱的截面尺寸如图(b)所示（尺寸单位：mm）。tca)b)其次分析立柱的内力和应力。立柱任意横截面m-m以上部分受力情况见图(c)，截面m-m为单向偏心受拉。可以求得轴力FN和弯矩My分别为解：首先根据截面尺寸计算截面面积，确定截面形心位置，求出截面对形心主惯性轴y的主惯性矩Iy。结果为3212341510mm75mm125mm5312510mmyAzzI，，NPFF，NP321510mFFA轴力FN对应的均布拉应力为c)3P(35075)10myMFP0.425mF2maxycyMzI最后，由1maxytyMzImaxmaxtminmaxc弯矩My对应线性分布的正应力，最大拉、压应力分别是叠加以上两种应力见图d)，且为使立柱同时满足抗拉、抗压强度条件，应有由tmaxt30MPamax160MPaccFP≤45kNFP≤171.4kN得：得：FP≤45kN。3P90.425(7510)5312510F3P90.425125105312510FP323510mFP32110mFP3220310mFP321401510mF故在截面内、外边缘上分别发生最大拉、压应力。§8.3截面核心故在横截面形心附近存在某一区域。当偏心压力作用在此区域内时，相应的中性轴将在截面以外或与截面周边相切而不穿过横截面，这时整个截面上只有压应力而无拉应力。该区域称截面核心。yzayaz中性轴(,)FFAyz截面核心22,yzyzFFiiaayz偏心拉、压问题的中性轴截距公式为研究截面核心的意义？如何确定截面核心？当偏心压力作用在截面核心的边界上时，相应的中性轴将与截面周边相切且不穿过横截面。考虑图示任意形状的截面，y轴和z轴为其形心主惯性轴。为确定截面核心的边界（图中的封闭曲线1-2-3-4-5-1），作一系列与截面周边相切和外接的直线，并把它们视为中性轴。,2FzyyiaFyzzia2得出每一与截面周边相切或外接的直线（中性轴）所对应的偏心压力F作用点的位置，亦即截面核心边界上相应点的坐标：,2yizyiaiziyziai2根据这些直线中每一直线在y轴和z轴上的截距ayi和azi，即可由中性轴截距公式连接这些点所得封闭曲线其包围的范围就是截面核心。应该注意的是，截面核心的每一边界点与对应的截面周边上的切线和外接的直线（中性轴）总是位于截面形心的相对两侧。2/16,/28ddd(1)圆截面的截面核心圆截面对圆心（形心）O是极对称的，故其截面核心的边界必然也是一个圆心为O的圆。作一条如图所示与截面周边相切的直线①，它在形心主惯性轴y和z上的截距为11,2/zyada而对于圆截面有164/π64/π22422dddAIAIiizyzy从而211zyyia211yzzia0此即截面核心边界上点1的坐标。以O为圆心，以d/8为半径所作的圆其包围的范围就是圆形截面的截面核心。(2)矩形截面的截面核心对于矩形截面的形心主惯性轴y、z轴，惯性半径的平方为：1212/232bbhhbAIiyy1212/232hbhbhAIizz作与周边相切的直线①、②、③、④，将它们视为中性轴，根据它们在形心主惯性轴y、z上的截距便可确定截面核心边界上的相应点1、2、3、4。例如若以直线①为中性轴，则：截距11,2zyaha核心边界点1的坐标211yzzia对应于周边上其他三条切线的截面核心边界点的坐标可类似地求得，并将其标注在图中。211zyyia2/12/26hhh0现在的问题是，确定截面核心边界上的四个点1、2、3、4后，相邻各点之间应如何连接。实际上这就是说，当与截面相切的直线（中性轴）绕截面周边上一点旋转至下一条与周边相切的直线时，偏心压力的作用点按什么轨迹移动。现以切线①绕B点旋转至切线②时的情况来说明。前述已知，杆件偏心受压时横截面上中性轴的方程为010202yiyzizzFyF当中性轴绕一点B转动时，位于中性轴上的B点的坐标(yB,zB)不变，亦即上式中的y0、z0在此情况下为定值yB、zB，而偏心力的作用点(yF,zF)移动，将上式改写为0122FzBFyByiyziz显然，这是关于yF、zF的直线方程。这表明，当截面周边切线（中性轴）绕周边上的定点转动时，相应的偏心压力的作用点亦即截面核心的边界点沿直线移动。于是在确定截面核心边界上的点1、2、3、4后，顺次以直线连接这些点所得到的菱形便是矩形截面的截面核心。该菱形的对角线长度分别为矩形边长的三分之一，即h/3和b/3(如图所示)。注意：对于周边有凹进部分的截面（如T形截面），在确定截面核心边界时，不能取与凹进部分周边相切的直线作中性轴。§8.4扭转与弯曲的组合弯曲与扭转的组合在机械工程中最常见。下面以操纵手柄为例说明这类组合变形的应力及强度的计算方法。图a)所示为一钢制手柄，AB段是直径为d的等直圆杆，A端为固定端，BC段长度为a，C端受铅垂力FP作用。为分析AB杆的受力情况，将FP力向AB杆B端的形心简化。在危险截面A上，弯曲正应力在上下两端点1和2处最大(图e)，而扭转切应力t在横截面周边各点处最大(图f)。所以点1和点2为危险截面上的危险点。AB杆弯矩图和扭矩图分别如图c)、d)所示。显然固定端A截面为危险截面，其弯矩M＝-FPl，扭矩T＝FPa。因手柄用钢材制成，应选用第三或第四强度理论。其相应的强度条件分别为221222322022ttr313取其中的点1研究，其受力如右图所示。点1的三个主应力为224t222r412233112223t式中的M和T分别为圆截面杆危险截面上的弯矩和扭矩。222r41223311222r3MTW22r40.75MTWWMPTWt注意到：且对圆截面杆有WP＝2W，则以上两式改写成223t按第三强度理论：按第四强度理论：r313224t[例5]电动机带动一圆轴AB，在轴中点处装有一重G＝5kN、直径D＝1.2m的胶带轮(图a)，胶带紧边的拉力F1＝6kN，松边的拉力F2＝3kN，两端轴承间的轴长l=1.2m。若轴的许用应力[]＝50MPa，试按第三强度理论求轴的直径d。受力简图b)中：1212()222xDDDMFFFF所以轴的右半段发生弯曲和扭转的组合变形。解:把作用于轮上的胶带拉力F1、F2向轴线简化，如图b)所示。F=G+F1+F2根