课件：第五章-特征值与特征向量(2)

§5.1矩阵的特征值和特征向量§5.2相似矩阵及矩阵可对角化的条件§5.3实对称矩阵的对角化第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值和特征向量1AnnAAA设为阶方阵，若存在数和维非零列向量，使得则称数为的一个，称为的对应特征值定义的1.特特征值征向量。1231131111,,,51152311414451141AA例：设14AA对应于特征值的特征值是，是的4的特征向量。2223112122515105AAA的特征值是-对应于特征值-2的特2，是的征向量。33331155123AA不是的特征向量。特征向量的几何意义：矩阵乘法对应了一个变换（Ax=y），是把任意一个向量x变成另一个方向或长度都大多不同的新向量y。在这个变换的过程中，原向量主要发生旋转、伸缩的变化（变成新向量）。如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转的效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。xyAxA是特征向量nAA阶矩阵的特征值，满足()0=X使方程组有非零解的值E-AX0E-A满足的值特征值与特征向量的求法0)0特征值满足：，即：(E-AEAnE-A的一个次多项式特征多项式:111212122212nnnnnnaaaaaaEAaaaLLLLLLL0E-A特征方程:11100nnnnbbbbL12,nA特征方程的根,，就是值的所有特征L=,()01.2ijnnAanfEAAEAA定义特征方程设称关于的一元次方程为矩阵的（或特征多项式）；称特为矩阵的征矩阵。例.201034011的特征值和特征向量求矩阵A2110430(2)(1)102AEA的特征多项式为232,1.A1所以的特征值为2,(2)0EAX1当时解方程解：3101002410010100000EA行变换,xxxc121300001:得基础解系().kk1021所以是对应于的全部特征向量,xcxcxc12231221得基础解系().kk23012所以是对应于的全部特征向量,(1).310EAX2当时解方程由210101420012,101000EA行变换12(1)0,n解特征方程求出特征方程的所有根，就是特征值，，，LE-A(2)()0ii对每一个，求解方程组的基础解系。EAX=求特征值和特征向量的步骤121122,,,,iiiiiiriiririkkk为则的线性组合：为基础解系非零的对应特征值的全部特征向量。LLAcossinsincos.AA矩阵,取何值时，有实数特征值和特例1.2征向量题2-cossin2cos10sincosAEA：的特征多项式为解22=(2cos)40cos12cos10=.k只有当时，有实数根此时，212cossin10=2=sincos0110=(1)001=1kAEA当时，特征值：(1)00000EAXEA解方程组：1111222210011001xcxccxcx方程组的通解：得其基础解系：，cossin10=(21)sincos01kA当时，1212=110,001kkkk则对应的特征向量是，（不全为）21210=(1)001=1EA特征值：34341001=110,001kkkk同样得其基础解系：，则对应的特征向量是，（不全为）(1)000100EAXEA解方程组：nTAA阶方阵与其性质转置矩阵有相同的1.1特征值。=EAA的特征多项式证：=TTTTTTEAEAEAEAEAA的特征多项式TAA与有相同的特征多项式，所以有相同的特征值。112212112n,,,(1)()(2)nnniiinnnijaAnAAAnaaaaAA12设阶方阵的n个特征值为，则有的个特征值之和等于的。即称为的的个特征值之积等于的行列式的值。即迹迹质12性.LLLLA=0,,,()()n()nnEAEALL1212：由于的n个根为，证明一元次方程11121212221111221=()(1)nnnnnnnnnnnaaaaaaEAaaaaaaA由于LLMMOMLLL212()()()()(1)nnnnnn1211而LLLL1101211222nnnnnaaaA由于恒等式两边同次项的系数必相等，所以两边项的系数相等，两边项的系数相等，得和LLL2222AAAA设是n阶矩阵的一个特征值，是对应特征值的一个特征向量例题1.。证明是矩阵的一个特征值，是对应特征值的一个3特征向量。0A由条件知，且证：22()()AAAAA则2222AA所以，是矩阵的一个特征值，是对应特征值的一个特征向量。证毕。kkkkAAAA设是n阶矩阵的一个特征值，是对应特征值的一个特征向量。则是矩阵的一个特征值，是对应特征值的一个特推广：征向量。11101110()()mmmmmmmmAfxaxaxaxafAaAaAaAaE设进一步：设多项式矩阵多项式11101110()()mmmmmmmmaAaAaAaEaAfAaAaAaE1110()mmmmfaaaa1110()(),()()mmmmAAfAaAaAaAaEffAf设是n阶矩阵的一个特征值，是对应特征值的一个特征向量。则矩阵多项式的一个特征值推为且也是矩阵对应特征值的一个特广：征向量。例2110430102121()31,()AfxxxfA已知矩阵的特征值为2,1,对应的0特征向量分别是0，。1求矩阵的特征值和特征向量。22110110100()34303430010102102001fAAAE：解110()430211fA22()(2)(1)(2)2(1)111()21fAfffffA的特征值为和，-32+1=-1,-3+1=-10即的特征值为-1,特征向量为0，1-1-111AAAA设是n阶的一个特征值，是对应特征值的一个特征向量。证明可逆矩：矩阵的一个特征值是，也是对应特征值的一例阵个特征向量。0A由条件知，且证：111()1AAAA则得1-111AA所以，矩阵的一个特征值是，也是对应特征值的一个特征向量。证毕。121212111212121,,,n,,,(1,2,,),,,,,,,,,,itttiiirirrttrit12线性无关特征向量线性无关特征向量线性无关特征向量设是阶方阵两两不同的特征值，是对应于特征值的线性无关的特征向量。性质1.3那么向量组：也线性无关LLLLLLL144444244444314444244443144424443A111121,,,r1当t=1时，对应于的特征向证对特征值的个数t用数学归纳法。量线性无关。L12111212121,,,,,,,,,,krkrkr假设t=k时，特征向量组线性无关。LLLL1211112121211,1,1,,,,,,,,,,kkrrrktk当时，要证下列的特征向量组：线性无关。LLLL12112111121212,1,1122,,11111111,,,,,,,,,,0(1.3),kkkrrrrrrrjjjjkjkkkjjjkjjjkjccccccccccc设有数：使得LLLLL11211122,,11111(1.3):0kkrrrrjjjjkjkjjjjjjjkkAcAcAcAcA等式两边同时左乘L112111111222,,11110kkrrrrjjjjkjkkjjkkjjjjkjccccL112111112121,,111111(1.3):0kkkrrrrjkjjkjkjkkjjjjjjjkkkcccc等式两边同时左乘L12111121221111:()()()0krrrjkjjkjkjkkkjjjjccc上述两等式相减L121112121211,,,,,,,,,,()0(1,2,,;1,2,,)krrrjkkikiicikjr由归纳假设：线性无关，得LLLLLL1,,,,(1,2,,0;1,2,,)ikjkiirckj12由于特征值互不相等，则有LLL1,11,10(1,2,,;1,2,,)1.30kijijjjkrkcikjrc将代入等式（）得LL1k,11111,1,,,(1,2,0,)kkkkjkrjrc又由于对应于特征向量线性无关.则有LL12112111121212,1,11121212,1111,1,,,,,,,,,,,,,,,,,0,,,kkkkkkrrrrrrccccccc数线性无关。由归纳法知，全为。结论成立。LLLLLLLL对应于不同特征值的特征向量线性无关。（这是性质1.3的性质1.4特殊情形）§5.2相似矩阵及矩阵可对角化的条件10012,14mAAAA求矩阵的幂如：，要计算直接做乘法，的一种方法计算量大。1APABPP对于，若能找到，使得逆阵对角矩阵可11111m=()()()mmAPBPAPBPPBPPBPPBPBB其中，是对角矩阵，容易计算L1122-3=141-31-1122-3201/32/3141-303PAPAB可逆矩对于，阵找到P，使得11001001001=2-3201-11-3031/32/3APBPAPBP1001002-31-1201-31/32/303