2021版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第6讲 对数函数教案 文 新人教A版

1第6讲对数函数一、知识梳理1．对数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1，0)当x1时，y0当0x1时，y0当x1时，y0当0x1时，y0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数2.反函数指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．常用结论对数函数图象的特点(1)当a1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0a1时，对数函数的图象呈下降趋势．(2)对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，1a，－1，函数图象只在第一、四象限．(3)在直线x＝1的右侧：当a1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0a1时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”．二、习题改编1．(必修1P74A组T7改编)函数y＝log0.5（4x－3）的定义域为．2解析：要使函数有意义，故满足4x－30，log0.5（4x－3）≥0，解得34x≤1.答案：34，12．(必修1P73练习T3改编)已知a＝2－13，b＝log213，c＝log1213，则a，b，c的大小关系是．答案：cab一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝log2x及y＝log133x都是对数函数．()(2)对数函数y＝logax(a0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．()(3)函数y＝ln1＋x1－x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．()(4)对数函数y＝logax(a0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，函数图象只经过第一、四象限．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√二、易错纠偏常见误区(1)忽略真数大于零致误；(2)忽视对底数的讨论致误．1．函数f(x)＝log2x2的单调递增区间为．解析：设t＝x2，因为y＝log2t在定义域上是增函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2的单调递增区间，所以所求区间为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)2．函数y＝logax(a0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝．解析：分两种情况讨论：①当a1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0a1时，有loga2－loga4＝1，解得a＝12，所以a＝2或12.答案：2或123对数函数的图象及应用(典例迁移)(1)若函数y＝a|x|(a0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是()(2)若方程4x＝logax在0，12上有解，则实数a的取值范围为．【解析】(1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a1，则y＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在0，12上的图象，可知，只需两图象在0，12上有交点即可，则f12≥g12，即2≥loga12，则a≤22，所以a的取值范围为0，22.【答案】(1)B(2)0，22【迁移探究】(变条件)若本例(2)的条件变为：当0x≤12时，4xlogax，则a的取值范围为．解析：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在0，12上的图象，可知f12g12，即2loga12，则a22，所以a的取值范围为22，1.4答案：22，1对于较复杂的不等式恒成立问题，可借助函数图象解决，具体做法为：(1)对不等式变形，使不等号两边分别对应两函数f(x)，g(x)；(2)在同一直角坐标系下作出两个函数f(x)与g(x)的图象；(3)比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置来确定参数的取值．1．函数y＝2log4(1－x)的图象大致是()解析：选C.函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；函数y＝2log4(1－x)在定义域上单调递减，排除D.选C.2．已知函数f(x)＝log2x，x0，3x，x≤0，且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是．解析：如图，在同一直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距．由图可知，当a1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．答案：(1，＋∞)对数函数的性质及应用(多维探究)角度一比较对数值的大小(2019·高考天津卷)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为()5A．cbaB．abcC．bcaD．cab【解析】因为a＝log27log24＝2，b＝log38log39＝2，且b＝log381，c＝0.30.20.30＝1，所以cba.故选A.【答案】A比较对数值的大小的方法角度二解简单的对数不等式或方程(一题多解)已知函数f(x)＝logax(a0且a≠1)满足f2af3a，则f()2x－10的解集为()A．(0，1)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)【解析】法一：因为函数f(x)＝logax(a0且a≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而2a3a且f2af3a，所以f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递增，结合对数函数的图象与性质可得f(2x－1)0⇒2x－11，所以x1.法二：由f2af3a知loga2aloga3a，所以loga2－1loga3－1，所以loga2loga3，所以a1，由f(2x－1)0得loga(2x－1)0，所以2x－11，即x1.【答案】C解对数不等式的函数及方法(1)形如logaxlogab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论；(2)形如logaxb的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．角度三对数型函数的综合问题已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的最小值为0，求a的值．【解】(1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，即a＝－1，6所以f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．由－x2＋2x＋30得－1x3，即函数f(x)的定义域为(－1，3)．令g(x)＝－x2＋2x＋3.则g(x)在(－1，1)上单调递增，在[1，3)上单调递减．又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是[1，3)．(2)若f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，因此应有a0，3a－1a＝1，解得a＝12.故实数a的值为12.解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．b＜c＜a解析：选B.因为a＝log20.2log21＝0，b＝20.220＝1，c＝0.20.30.20＝1且c0，所以acb，故选B.2．设函数f(x)＝21－x，x≤1，1－log2x，x1，则满足f(x)≤2的x的取值范围是()A．[－1，2]B．[0，2]C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)解析：选D.当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x1时，1－log2x≤2，解得x≥12，所以x1.综上可知x≥0.7思想方法系列4分类讨论思想研究指数、对数函数的性质已知函数f(x)＝loga(2x－a)(a0且a≠1)在区间[12，23]上恒有f(x)0，则实数a的取值范围是()A．(13，1)B．[13，1)C．(23，1)D．[23，1)【解析】当0a1时，函数f(x)在区间[12，23]上是减函数，所以loga(43－a)0，即043－a1，解得13a43，故13a1；当a1时，函数f(x)在区间[12，23]上是增函数，所以loga(1－a)0，即1－a1，解得a0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是(13，1)．【答案】A本题利用了分类讨论思想，在研究指数、对数函数的性质时，常对底数a的值进行分类讨论，实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．已知函数y＝a2x＋2ax－1(a0，且a≠1)，当x≥0时，求函数的值域．解：y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax，则y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a1时，因为x≥0，所以t≥1，所以当a1时，y≥2.当0a1时，因为x≥0，所以0t≤1.因为g(0)＝－1，g(1)＝2，所以当0a1时，－1y≤2.综上所述，当a1时，函数的值域是[2，＋∞)；当0a1时，函数的值域是(－1，2]．[基础题组练]1．函数y＝log3（2x－1）＋1的定义域是()A．[1，2]B．[1，2)C.23，＋∞D.23，＋∞解析：选C.由log3（2x－1）＋1≥0，2x－10，即8log3（2x－1）≥log313，x12，解得x≥23.故选C.2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝()A．log2xB.12xC．log12xD．2x－2解析：选A.由题意知f(x)＝logax(a0且a≠1)，因为f(2)＝1，所以loga2＝1，所以a＝2.所以f(x)＝log2x.故选A.3．(2020·东北三省四市一模)若a＝log225，b＝0.48，c＝ln2，则a，b，c的大小关系是()A．acbB．abcC．cbaD．bca解析：选B.a＝log225log21＝0，即a0，b＝0.480.412，又0.480，所以0b12，c＝ln2＝ln4lne＝12，即c12，所以abc.故选B.4．设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是()A．f(a＋1)f(2)B．f(a＋1)f(2)C．f(a＋1)＝f(2)D．不能确定解析：选A.由已知得0a1，所以1a＋12，又易知函数f(x)为偶函数，故可以判断f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)f(2)．5．(2020·河南平顶山模拟)函数f(x)＝loga|x＋1|(a0，a≠1)，当x∈(－1，0)时，恒有f(x)0，则()A．f(x)在(－∞，0)上是减函数B．f(x)在(－∞，－1)上是减函数C．f(x)在(0，＋∞)上是增函数D．f(x)在(－∞，－1)上是增函数解析：选D.由题意，函数f(x)＝loga|x＋1|(a0且a≠1)，则说明函数f(x)关于直线x＝－1对称，当x∈(－1，0)时，恒有f(x)0，即|x＋1|∈(0，1)，f(x)0，则0a1.又u＝|x＋1|在(－∞，－1)上是减函数，在(－1，＋∞)上是增函数，结合复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，－1)上是增函数，选D.96．已知函数y＝loga(x－1)(a0，a≠1)的图象过定点A，若点A也在函数f(x)＝2x＋b的图象上，则f(log23)＝．解析：由题意得A(2，0)，因此f(2)＝4＋b＝0，b＝－4，从而f(log23)＝3－4＝－1.答案：－17．若函数f(x)＝logax(0