2019-2020学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程章末优化总结课件 北师大版选修2-1

专题一圆锥曲线定义、性质的应用1．圆锥曲线的定义常用于解决下列问题：(1)求轨迹问题；(2)求曲线上某些特殊点的坐标；(3)求过焦点的弦长、三角形问题．2．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质是圆锥曲线的重点内容，是历年高考的重点．重在考查基础知识、基本思想方法，例如数形结合思想和方程思想等．而该部分在高考中多以选择题、填空题为主，为中档题目．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)与抛物线y2＝8x有公共焦点，且双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1，则该双曲线的离心率为()A.2B.3C．2D．4[解析]抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)中c＝2，又a＝1，∴e＝ca＝2，故选C.[答案]C专题二与圆锥曲线有关的最值和范围问题与圆锥曲线有关的最值问题是一种常见的题型，一些简单的最值问题主要运用圆锥曲线的定义和几何性质来解决，对于较为复杂的最值问题，则往往是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．已知F1、F2是椭圆x24＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，则|PF1|·|PF2|的最大值为()A．1B．2C．3D．4[解析]根据条件，得|PF1|＋|PF2|＝4，所以|PF1|·|PF2|≤(|PF1|＋|PF2|2)2＝4.所以|PF1|·|PF2|的最大值为4.[答案]D专题三轨迹问题求动点的轨迹方程，实质上是建立轨迹上的点的坐标间的关系，即动点坐标(x，y)所适合的等式F(x，y)＝0.因此要分析形成轨迹的动点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的形式，建立等式．在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(ab0)为动点，F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1的左，右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足AM→·BM→＝－2，求点M的轨迹方程．[解析](1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c0)．由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，即a－c2＋b2＝2c，整理得2ca2＋ca－1＝0，得ca＝－1(舍去)或ca＝12.所以e＝12.(2)由(1)知a＝2c，b＝3c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝3(x－c)．A，B两点的坐标满足方程组3x2＋4y2＝12c2，y＝3x－c.消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝85c，得方程组的解x1＝0，y1＝－3c，x2＝85c，y2＝335c.不妨设A85c，335c，B(0，－3c)．设点M的坐标为(x，y)，则AM→＝x－85c，y－335c，BM→＝(x，y＋3c)．由y＝3(x－c)，得c＝x－33y.于是AM→＝8315y－35x，85y－335x，BM→＝(x，3x)．由AM→·BM→＝－2，即8315y－35x·x＋85y－335x·3x＝－2，化简得18x2－163xy－15＝0.将y＝18x2－15163x代入c＝x－33y，得c＝10x2＋516x.又因为c0，所以x0.因此，点M的轨迹方程是18x2－163xy－15＝0(x0)．专题四直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及判定直线与圆锥曲线的交点个数、求弦长、最值等问题，它是圆锥曲线的定义、性质与直线的基础知识的综合应用，涉及数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法．直线与圆锥曲线的位置关系主要有：(1)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结合；(2)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系；(3)有关最值问题，要注意运用斜率关系及根与系数的关系，设而不求，简化运算．P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，且满足OC→＝λOA→＋OB→，求λ的值．[解析](1)由点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线x2a2－y2b2＝1上，有x20a2－y20b2＝1.由题意有y0x0－a·y0x0＋a＝15，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝ca＝305.(2)联立x2－5y2＝5b2，y＝x－c，得4x2－10cx＋35b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5c2，x1x2＝35b24.①设OC→＝(x3，y3)，OC→＝λOA→＋OB→，即x3＝λx1＋x2，y3＝λy1＋y2.又C为双曲线上一点，即x23－5y23＝5b2，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2.化简得λ2(x21－5y21)＋(x22－5y22)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2.②又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x21－5y21＝5b2，x22－5y22＝5b2.由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.