2019-2020学年新教材高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示

课时作业9平面向量数乘运算的坐标表示知识对点练知识点一向量数乘运算的坐标表示1.已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若a－2b＋3c＝0，则c等于()A.1，83B.133，83C.133，43D.－133，－43答案D答案解析∵c＝13(2b－a)＝23b－13a，∴(x，y)＝23(－4，－3)－13(5，－2)＝－83－53，－2＋23＝－133，－43.故选D.解析2．平面内给定三个向量a＝(6,1)，b＝(－2,3)，c＝(2,2)．(1)求a＋2b－c；(2)是否存在实数λ，μ，使得c＝λa＋μb?解(1)a＋2b－c＝(6,1)＋2(－2,3)－(2,2)＝(0,5)．(2)假设存在实数λ，μ使得c＝λa＋μb，则(2,2)＝λ(6,1)＋μ(－2,3)⇒6λ－2μ＝2，λ＋3μ＝2⇒λ＝12，μ＝12，即存在实数λ＝μ＝12满足等式.答案知识点二向量共线问题3.下列各组向量中，共线的一组是()A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)B．a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(1,2)，b＝(7,14)D．a＝(－3,2)，b＝(6，－14)答案C答案解析－2×6－3×4＝－24≠0，故A错误；2×2－3×3＝－5≠0，故B错误；－3×(－14)－2×6＝30≠0，故D错误；1×14－2×7＝0，故选C.解析4．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b＝()A．(－2，－1)B．(2,1)C．(3，－1)D．(－3,1)解析∵a∥b，∴x＝－4，∴a＋b＝(2,1)＋(－4，－2)＝(－2，－1)，故选A.解析答案A答案5．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()A.14B.12C．1D．2解析由题意可得a＋λb＝(1＋λ，2)．由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4－3×2＝0，解得λ＝12.解析答案B答案6．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，求m的值．解ma＋4b＝(2m,3m)＋(－4,8)＝(2m－4,3m＋8)；a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，由题意得4(3m＋8)－(－1)(2m－4)＝0，解得m＝－2.答案7．已知AB→＝(6,1)，BC→＝(x，y)，CD→＝(－2，－3)，且BC→∥DA→，试确定x，y的关系式．解因为AB→＝(6,1)，BC→＝(x，y)，CD→＝(－2，－3)，所以AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(4＋x，y－2)．又因为BC→∥DA→，所以BC→∥AD→.所以x(y－2)－y(4＋x)＝0，得xy－2x－4y－xy＝0，故x＋2y＝0.答案知识点三三点共线问题8.已知A，B，C三点共线，BA→＝－38AC→，点A，B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为________．解析设点C的纵坐标为y，∵A，B，C三点共线，BA→＝－38AC→，A，B的纵坐标分别为2,5，∴2－5＝－38(y－2)，∴y＝10.解析答案10答案9．已知OA→＝(1,1)，OB→＝(3，－1)，OC→＝(a，b)．(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系；(2)若AC→＝2AB→，求点C的坐标．解由题意知，AB→＝OB→－OA→＝(2，－2)，AC→＝OC→－OA→＝(a－1，b－1)．(1)若A，B，C三点共线，则AB→∥AC→，即2(b－1)－(－2)×(a－1)＝0，故a＋b＝2.答案(2)∵AC→＝2AB→，∴(a－1，b－1)＝(4，－4)，∴a－1＝4，b－1＝－4，∴a＝5，b＝－3，即点C的坐标为(5，－3)．答案课时综合练一、选择题1．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b＝()A．(5,7)B．(5,9)C．(3,7)D．(3,9)解析因为a＝(2,4)，b＝(－1,1)，所以2a－b＝(2×2－(－1)，2×4－1)＝(5,7)．解析答案A答案2．已知向量a＝(1,2)，b＝(0,1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值为()A．－1B．－12C.12D．1解析因为u＝a＋kb＝(1,2＋k)，v＝2a－b＝(2,3)，u∥v，所以3－2(2＋k)＝0，解得k＝－12.解析答案B答案3．在△ABC中，已知A(2,3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中线AD上一点，且|AG→|＝2|GD→|，那么点C的坐标为()A．(－4,2)B．(－4，－2)C．(4，－2)D．(4,2)答案C答案解析设C(x，y)，则有AD→＝12(AB→＋AC→)＝x＋22，y－102.又|AG→|＝2|GD→|，∴AG→＝23AD→＝x＋23，y－103.∵A(2,3)，G(4，－1)，∴AG→＝(2，－4)，∴x＋23＝2，y－103＝－4，解得x＝4，y＝－2.故C(4，－2)．解析4．已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,0)，λa＋μb与a－2b共线，则λμ等于()A.12B．2C．－12D．－2答案C答案解析λa＋μb＝(λ－μ，λ)，a－2b＝(3,1)．∵λa＋μb与a－2b共线，∴λ－μ－3λ＝0，∴μ＝－2λ，故λμ＝－12.解析5．已知a＝(－2,1－cosθ)，b＝1＋cosθ，－14，且a∥b，则锐角θ等于()A．45°B．30°C．60°D．15°答案A答案解析由a∥b，得－2×－14－(1－cosθ)(1＋cosθ)＝0，即12＝1－cos2θ＝sin2θ，得sinθ＝±22，又θ为锐角，∴sinθ＝22，∴θ＝45°，故选A.解析二、填空题6．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．答案0，72或73，0答案解析由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，则AB→＝(x－1，y－2)＝b.由－2λ＝x－1，3λ＝y－2⇒x＝1－2λ，y＝3λ＋2.又点B在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B0，72或73，0.解析7．已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)．若a－2b与c共线，则k＝________.解析a－2b＝(3，3)．由a－2b与c共线，得k3＝33，解得k＝1.解析答案1答案8．已知△ABC的顶点A(2,3)和重心G(2，－1)，则BC边上的中点的坐标是________．解析设BC边上的中点为D(x，y)，则AG→＝2GD→，∴2x－2＝0，2y＋1＝－4，解得x＝2，y＝－3.解析答案(2，－3)答案三、解答题9．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，且AE→＝13AC→，BF→＝13BC→.(1)求E，F的坐标；(2)判断EF→与AB→是否共线．解(1)设E(x1，y1)，F(x2，y2)．依题意得AC→＝(2,2)，BC→＝(－2，3)．由AE→＝13AC→可知，(x1＋1，y1)＝13(2,2)，即x1＋1＝23，y1＝23，解得x1＝－13，y1＝23，∴E的坐标为－13，23.由BF→＝13BC→可知，(x2－3，y2＋1)＝13(－2,3)，答案即x2－3＝－23，y2＋1＝1，解得x2＝73，y2＝0，∴F的坐标为73，0.故E点的坐标为－13，23，F点的坐标为73，0.(2)由(1)可知EF→＝73，0－－13，23＝83，－23，又AB→＝(4，－1)，∴EF→＝23(4，－1)＝23AB→，故EF→与AB→共线．答案10．设四边形ABCD的四个顶点分别为A(4,8)，B－1，152，C(－2，－1)，D－34，7，求AC与BD交点M的坐标．解设M(x，y)，则AM→＝(x－4，y－8)，BM→＝x＋1，y－152，CM→＝(x＋2，y＋1)，DM→＝x＋34，y－7.因为A，M，C共线，有(x－4)(y＋1)＝(x＋2)(y－8)，即3x－2y＋4＝0；因为B，M，D共线，有(x＋1)(y－7)＝x＋34y－152，化简为4x＋2y－11＝0，由3x－2y＋4＝0，4x＋2y－11＝0，得x＝1，y＝72，所以点M的坐标为1，72.答案本课结束