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知识点异面直线所成的角θ1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的____(或____)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)．2．范围：____________.3．当θ＝____时，a与b互相垂直，记作____状元随笔异面直线所成角的范围是0°θ≤90°，所以垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直．锐角直角0°θ≤90°90°a⊥b.[教材解难]求异面直线所成的角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)求——转化为一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°θ≤90°，则θ为所求；若90°θ180°，则180°－θ为所求．[基础自测]1．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：由已知得直线c与b既可能为异面直线，也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾．答案：C2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AD1与DC1所成角的大小为()A．120°B．90°C．60°D．30°解析：连接AB1和B1D1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB1＝AD1＝B1D1，AB1∥DC1，所以异面直线AD1与DC1所成的角即为直线AB1与AD1所成的角，设∠B1AD1＝θ，在等边三角形AB1D1中，∠B1AD1＝60°，即异面直线AD1与DC1所成的角为60°，故选C.答案：C3．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．解析：连结BA′，则BA′∥CD′，连结A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形．∴∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，∴AD与BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC＝45°.答案：(1)60°(2)45°题型一求异面直线所成的角[经典例题]例1在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成的角的大小．【解析】方法一如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.方法二如图所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HE綊12DB1，∴∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．连接HF，设AA1＝1，则EF＝22，HE＝32，取A1D1的中点I，连接HI，IF，则HI⊥IF，∴HF2＝HI2＋IF2＝54，∴HF2＝EF2＋HE2，∴∠HEF＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.方法三：如图，连接A1C1，分别取AA1，CC1的中点M，N，连接MN.∵E，F分别是A1B1，B1C1的中点，∴EF∥A1C1，又MN∥A1C1，∴MN∥EF.连接DM，B1N，MB1，DN，则B1N綊DM，∴四边形DMB1N为平行四边形，∴MN与DB1必相交，设交点为P，则∠DPM为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．设AA1＝k(k0)，则MP＝22k，DM＝52k，DP＝32k，∴DM2＝DP2＋MP2，∴∠DPM＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.方法四：如图，在原正方体的右侧补上一个与其大小相等的正方体，连接B1Q，易得B1Q∥EF，∴∠DB1Q就是异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．设AA1＝k(k0)，则B1D＝3k，DQ＝5k，B1Q＝2k，∴B1D2＋B1Q2＝DQ2，∴∠DB1Q＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.状元随笔利用中位线作平行线，找出异面直线DB1与EF所成的角即可求解.方法归纳求异面直线所成角的步骤一作：选择适当的点，用平移法作出异面直线所成的角；二证：证明作出的角就是要求的角；三计算：将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊三角形求解．跟踪训练1(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：(1)连接A1D，DB，∵A1D，DB和BA1分别是正方体三个面上的对角线，∴A1D＝DB＝BA1，∴∠BA1D＝60°.∵B1C∥A1D，∴B1C与A1B所成的角即A1D与A1B所成的角，即∠BA1D.故异面直线A1B与B1C所成的角为60°.答案：(1)C(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．解析：(2)如题图，过点M作ME∥DN交CC1于点E，连接A1E，则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)，E为CN的中点．设正方体的棱长为a，则A1M＝32a，ME＝54a，A1E＝414a，所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，即异面直线A1M与DN所成的角为90°.答案：(2)90°题型二直线与直线垂直[教材P147例2]例2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证AO1⊥BD.【证明】如图，连接B1D1.∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴BB1綉DD1.∴四边形BB1D1D是平行四边形．∴B1D1∥BD.∴直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角．连接AB1，AD1，易证AB1＝AD1.又O1为底面A1B1C1D1的中心，∴O1为B1D1的中点，∴AO1⊥B1D1.∴AO1⊥BD.要证明AO1⊥BD，应先构造直线AO1与BD所成的角，若能证明这个角是直角，即得AO1⊥BD.教材反思证明直线与直线垂直的方法①等腰三角形中线即是高线．②勾股定理．③异面直线所成的角为直角．跟踪训练2如图，P是平面ABC外一点，PA＝4，BC＝25，D，E分别为PC，AB的中点，且DE＝3.求证：PA⊥BC.证明：如图，取AC的中点F，连接DF，EF，在△PAC中，∵D是PC的中点，F是AC的中点，∴DF∥PA.同理可得EF∥BC.∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角)．在△DEF中，DE＝3，又DF＝12PA＝2，EF＝12BC＝5，∴DE2＝DF2＋EF2，∴∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°.∴PA⊥BC.状元随笔