2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数 3.1 函数的概念与性质 3.1.2 函数的单调

课后课时精练2A级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知函数f(x)＝x2＋4图像上的两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为()A．2B．2.3C．2.09D．2.1答案B解析∵f(1)＝5，f(1.3)＝5.69，∴kAB＝f1.3－f11.3－1＝5.69－50.3＝2.3，故选B.答案解析32．函数f(x)＝2x在区间12，2上的平均变化率为()A．2B.23C.223D.2答案B答案4解析函数f(x)＝2x在区间12，2上的平均变化率为f2－f122－12＝2－132＝23.故选B.解析53．函数f(x)＝1x，x≥1，－x2＋2，x1的最大值为()A．1B．2C．3D．4答案B答案6解析当x≥1时，f(x)≤f(1)＝1，当x1时，f(x)≤f(0)＝2，所以函数f(x)的最大值为2.故选B.解析74．如图，正方形ABCD的顶点A0，22，B22，0，顶点C，D位于第一象限，直线l：x＝t(0≤t≤2)将正方形ABCD分成两部分，设位于直线l左侧部分的面积为f(t)，则函数S＝f(t)的图像大致是()8答案C答案9解析判断S＝f(t)的图像，可用观察法，直线l在运动到B点之前，左侧面积增大的速度越来越快，而过了B点之后，左侧面积增大的速度越来越慢，而速度的快、慢反映在图像上是陡、缓．故选C.解析105．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()A．[1，＋∞)B．[0,2]C．(－∞，2]D．[1,2]答案D解析由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，当x＝1时，y的最小值为2，当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.由y＝x2－2x＋3的图像知，当m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.答案解析11二、填空题6．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率为________．答案－1解析由函数平均变化率的定义可得，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率ΔyΔx＝f3－f13－1＝1－33－1＝－1.答案解析127．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](ab3)上有最大值9，最小值－7，则a＝_______，b＝_______.答案－20解析y＝－(x－3)2＋18，∵ab3，∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，得b＝0(b＝6不符合题意，舍去)，由－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2(a＝8不符合题意，舍去)．答案解析138．已知－x2＋4x＋a≥0在x∈[0,1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．答案[0，＋∞)解析－x2＋4x＋a≥0，即a≥x2－4x，x∈[0,1]，也就是a应大于或等于f(x)＝x2－4x在[0,1]上的最大值，函数f(x)＝x2－4x在x∈[0,1]的最大值为0，∴a≥0.答案解析14三、解答题9．证明函数f(x)＝x＋x是增函数．证明设x1≠x2，则ΔfΔx＝fx2－fx1x2－x1＝x2＋x2－x1－x1x2－x1.∵函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，∴ΔfΔx＝1x2＋x1＋1.∵x1，x2∈[0，＋∞)，∴ΔfΔx0.∴函数f(x)＝x＋x是增函数．答案1510．判断函数f(x)＝xx＋2在区间[2,4]上的单调性，并求这个函数在该区间上的最值．解设x1≠x2，则ΔfΔx＝fx2－fx1x2－x1＝x2x2＋2－x1x1＋2x2－x1＝2x1＋2x2＋2.∵x1，x2∈[2,4]，∴x1＋20，x2＋20.∴ΔfΔx0，∴函数f(x)＝xx＋2在区间[2,4]上是增函数．故该函数在区间[2,4]上的最大值为f(4)＝23，最小值为f(2)＝12.答案16B级：“四能”提升训练1．很多人都吹过气球．回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．若已知气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系式为V(r)＝43πr3，从数学的角度，如何描述这种现象呢？解将半径r表示为体积V的函数，得r(V)＝33V4π.当空气容量V从0增加到1L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62(dm)，答案17气球的平均膨胀率为r1－r01－0≈0.62(dm/L)．类似地，当空气容量V从1L增加到2L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16(dm)，气球的平均膨胀率为r2－r12－1≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了，即随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．答案182．已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝2，试证明f(x)在(－∞，2)上单调递减；(2)若a0，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围．解(1)证明：当a＝2时，f(x)＝xx－2.设x1≠x2，则ΔfΔx＝fx2－fx1x2－x1＝x2x2－2－x1x1－2x2－x1＝－2x1－2x2－2.答案19当x1，x2∈(－∞，2)时，有x1－20，x2－20，∴ΔfΔx0.∴f(x)在(－∞，2)上单调递减．(2)设x1≠x2，则ΔfΔx＝fx2－fx1x2－x1＝x2x2－a－x1x1－ax2－x1＝－ax2－ax1－a.∵a0，f(x)在(1，＋∞)上单调递减，∴(x2－a)(x1－a)0在(1，＋∞)上恒成立．∴a≤1.∴实数a的取值范围为(0,1]．答案本课结束