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1.4平面向量-2-高考命题规律1.高考必考考题.选择题或填空题,5分,中高档难度.2.全国高考有4种命题角度,分布如下表.2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命题角度1平面向量的线性运算、平面向量基本定理7136命题角度2平面向量的坐标运算1333133命题角度3计算平面向量的数量积1284命题角度4平面向量数量积的应用1312713-3-高考真题体验典题演练提能平面向量的线性运算、平面向量基本定理1.(2018全国Ⅰ·6)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则𝐸𝐵=()A.34𝐴𝐵−14𝐴𝐶B.14𝐴𝐵−34𝐴𝐶C.34𝐴𝐵+14𝐴𝐶D.14𝐴𝐵+34𝐴𝐶答案:A解析:如图,𝐸𝐵=-𝐵𝐸=-12(𝐵𝐴+𝐵𝐷)=12𝐴𝐵−14𝐵𝐶=12𝐴𝐵−14(𝐴𝐶−𝐴𝐵)=34𝐴𝐵−14𝐴𝐶.-4-高考真题体验典题演练提能2.(2017全国Ⅲ·12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若𝐴𝑃=λ𝐴𝐵+μ𝐴𝐷,则λ+μ的最大值为()A.3B.22C.5D.2答案:A解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,1),B(0,0),D(2,1).设P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得r=|𝐵𝐶|·|𝐶𝐷||𝐵𝐷|=2×15=255,即圆的方程是(x-2)2+y2=45.易知𝐴𝑃=(x,y-1),𝐴𝐵=(0,-1),𝐴𝐷=(2,0).由𝐴𝑃=λ𝐴𝐵+μ𝐴𝐷,-5-高考真题体验典题演练提能得𝑥=2𝜇,𝑦-1=-𝜆,所以μ=𝑥2,λ=1-y,所以λ+μ=12x-y+1.设z=12x-y+1,即12x-y+1-z=0.因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=45上,所以圆心C到直线12x-y+1-z=0的距离d≤r,即|2-𝑧|14+1≤255,解得1≤z≤3,所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故选A.-6-高考真题体验典题演练提能3.(2015全国Ⅰ·7)设D为△ABC所在平面内一点,𝐵𝐶=3𝐶𝐷,则()A.𝐴𝐷=-13𝐴𝐵+43𝐴𝐶B.𝐴𝐷=13𝐴𝐵−43𝐴𝐶C.𝐴𝐷=43𝐴𝐵+13𝐴𝐶D.𝐴𝐷=43𝐴𝐵−13𝐴𝐶答案:A解析:如图:∵𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐵𝐷,𝐵𝐶=3𝐶𝐷,∴𝐴𝐷=𝐴𝐵+43𝐵𝐶=𝐴𝐵+43(𝐴𝐶−𝐴𝐵)=-13𝐴𝐵+43𝐴𝐶.-7-高考真题体验典题演练提能4.(2015全国Ⅱ·13)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.答案:12解析:由题意知存在常数t∈R,使λa+b=t(a+2b),得𝜆=𝑡,1=2𝑡,解之得λ=12.-8-高考真题体验典题演练提能1.已知两个非零向量a,b互相垂直,若向量m=4a+5b与n=2a+λb共线,则实数λ的值为()A.5B.3C.2.5D.2答案:C解析:∵向量m=4a+5b与n=2a+λb共线,∴存在实数t,使得m=tn,即4a+5b=t(2a+λb),又向量a,b互相垂直,故a,b不共线.∴2𝑡=4,𝑡𝜆=5,解得𝑡=2,𝜆=52.故选C.-9-高考真题体验典题演练提能2.在平行四边形ABCD中,点E为CD的中点,BE与AC的交点为F,设𝐴𝐵=a,𝐴𝐷=b,则向量𝐵𝐹=()A.13a+23bB.-13a-23bC.-13a+23bD.13a-23b答案:C解析:𝐵𝐹=23𝐵𝐸=23(𝐵𝐶+𝐶𝐸)=23(b-12a)=-13a+23b,故选C.-10-高考真题体验典题演练提能3.(2019宁夏平罗中学高三期中)已知数列{an}是正项等差数列,在△ABC中,𝐵𝐷=t𝐵𝐶(t∈R),若𝐴𝐷=a3𝐴𝐵+a5𝐴𝐶,则a3a5的最大值为()A.1B.12C.14D.18答案:C解析:∵𝐵𝐷=t𝐵𝐶,故B,C,D三点共线.∵𝐴𝐷=a3𝐴𝐵+a5𝐴𝐶,∴a3+a5=1,数列{an}是正项等差数列,故a30,a50,∴1=a3+a5≥2𝑎3𝑎5,解得a3a5≤14,故选C.-11-高考真题体验典题演练提能4.(2019山东实验中学等四校高三联考)如图Rt△ABC中,∠ABC=π2,AC=2AB,∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D,设𝐴𝐵=a,𝐴𝐶=b,则向量𝐴𝐷=()A.a+bB.12a+bC.a+12bD.a+23b解析:设圆的半径为r,在Rt△ABC中,∠ABC=π2,AC=2AB,所以∠BAC=π3,∠ACB=π6,∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D,所以∠ACB=∠BAD=∠CAD=π6,则根据圆的性质有BD=CD=AB.又因为在Rt△ABC中,AB=12AC=r=OD,所以四边形ABDO为菱形,所以𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐴𝑂=a+12b.故选C.答案:C-12-高考真题体验典题演练提能5.已知在△ABC中,D为边BC上的点,且BD=3DC,点E为AD的中点,𝐵𝐸=m𝐴𝐵+n𝐴𝐶,则m+n=.答案:-12解析:如图所示,𝐵𝐸=𝐵𝐷+𝐷𝐸=𝐵𝐷−12𝐴𝐷=𝐵𝐷−12(𝐴𝐵+𝐵𝐷)=12𝐵𝐷−12𝐴𝐵=12·34𝐵𝐶−12𝐴𝐵=38𝐵𝐶−12𝐴𝐵=38(𝐴𝐶−𝐴𝐵)-12𝐴𝐵=-78𝐴𝐵+38𝐴𝐶.又𝐵𝐸=m𝐴𝐵+n𝐴𝐶,所以m𝐴𝐵+n𝐴𝐶=-78𝐴𝐵+38𝐴𝐶,所以m+78𝐴𝐵+n-38𝐴𝐶=0.又因为𝐴𝐵与𝐴𝐶不共线,所以m=-78,n=38,所以m+n=-12.-13-高考真题体验典题演练提能6.在平面向量中有如下定理:设点O,P,Q,R为同一平面内的点,则P、Q、R三点共线的充要条件是:存在实数t,使𝑂𝑃=(1-t)𝑂𝑄+t𝑂𝑅.试利用该定理解答下列问题:如图,在△ABC中,点E为AB边的中点,点F在AC边上,且CF=2FA,BF交CE于点M,设𝐴𝑀=x𝐴𝐸+y𝐴𝐹,则x+y=.-14-高考真题体验典题演练提能解析:∵B,M,F三点共线,∴存在实数t,使得𝐴𝑀=(1-t)𝐴𝐵+t𝐴𝐹,又𝐴𝐵=2𝐴𝐸,𝐴𝐹=13𝐴𝐶,∴𝐴𝑀=2(1-t)𝐴𝐸+13𝑡𝐴𝐶,又E,M,C三点共线,∴2(1-t)+13t=1,解得t=35.∴𝐴𝑀=2(1-t)𝐴𝐸+t𝐴𝐹=45𝐴𝐸+35𝐴𝐹,∴x=45,y=35,x+y=75.答案:75-15-高考真题体验典题演练提能平面向量的坐标运算1.(2019全国Ⅱ·3)已知𝐴𝐵=(2,3),𝐴𝐶=(3,t),|𝐵𝐶|=1,则𝐴𝐵·𝐵𝐶=()A.-3B.-2C.2D.3答案:C解析:由𝐵𝐶=𝐴𝐶−𝐴𝐵=(1,t-3),|𝐵𝐶|=12+(𝑡-3)2=1,得t=3,则𝐵𝐶=(1,0).所以𝐴𝐵·𝐵𝐶=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C.-16-高考真题体验典题演练提能2.(2016全国Ⅲ·3)已知向量𝐵𝐴=12,32,𝐵𝐶=32,12,则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°答案:A解析:由题意得cos∠ABC=𝐵𝐴·𝐵𝐶|𝐵𝐴||𝐵𝐶|=12×32+32×121×1=32,所以∠ABC=30°,故选A.-17-高考真题体验典题演练提能3.(2018全国Ⅲ·13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=.答案:12解析:2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=.124.(2016全国Ⅰ·13)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.答案:-2解析:∵|a+b|2=|a|2+|b|2,∴(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.-18-高考真题体验典题演练提能1.已知向量a=(1,1),b=(-1,2),若(a-b)∥(2a+tb),则t=()A.0B.12C.-2D.-3答案:C解析:因为a-b=(2,-1),2a+tb=(2-t,2+2t),又因为(a-b)∥(2a+tb),所以2(2+2t)=-(2-t),∴t=-2,故选C.2.已知向量a=(2,4),b=(-1,1),c=a-tb,若b⊥c,则实数t=()A.1B.-1C.D.2答案:A解析:由题意得c=a-tb=(2,4)-t(-1,1)=(2+t,4-t),∵b⊥c,∴b·c=(-1,1)·(2+t,4-t)=-(2+t)+(4-t)=2-2t=0,解得t=1.故选A.2-19-高考真题体验典题演练提能3.已知a=(1,2),b=(-1,1),c=2a-b,则|c|=()A.26B.32C.10D.6答案:B解析:∵a=(1,2),b=(-1,1),∴c=2a-b=(3,3),∴|c|=9+9=32,故选B.4.已知a=(-1,1),b=(2,-1),c=(1,2),若a=λb+μc,则𝜆𝜇=.答案:-3解析:由a=λb+μc可知(-1,1)=λ(2,-1)+μ(1,2)=(2λ+μ,-λ+2μ),∴2𝜆+𝜇=-1,-𝜆+2𝜇=1,解得λ=-35,μ=15,∴𝜆𝜇=-3.-20-高考真题体验典题演练提能5.向量𝐵𝐴=(1,2),𝐶𝐴∥𝐵𝐴,且|𝐶𝐴|=25,则𝐵𝐶的坐标为.答案:(3,6)或(-1,-2)解析:∵𝐶𝐴∥𝐵𝐴,∴𝐶𝐴=t𝐵𝐴=(t,2t).又|𝐶𝐴|=25,∴t2+4t2=5t2=20,解得t=±2.当t=2时,𝐵𝐶=𝐵𝐴+𝐴𝐶=(1,2)+(-2,-4)=(-1,-2);当t=-2时,𝐵𝐶=𝐵𝐴+𝐴𝐶=(1,2)+(2,4)=(3,6).-21-高考真题体验典题演练提能计算平面向量的数量积1.(2018全国Ⅱ·4)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0答案:B解析:a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.-22-高考真题体验典题演练提能2.(2018全国Ⅰ·8)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则𝐹𝑀·𝐹𝑁=()A.5B.6C.7D.8答案:D解析:易知F(1,0),过点(-2,0)且斜率为23的直线方程为y=23(x+2).联立抛物线方程y2=4x,得𝑦2=4𝑥,𝑦=23(𝑥+2),解得𝑥=1,𝑦=2,或𝑥=4,𝑦=4.不妨设M(1,2),N(4,4),所以𝐹𝑀=(0,2),𝐹𝑁=(3,4),所以𝐹𝑀·𝐹𝑁=8.-23-高考真题体验典题演练提能3.(2017全国Ⅱ·12)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则𝑃𝐴·(𝑃𝐵+𝑃𝐶)的最小值是()A.-2B.-32C.-43D.-1答案:B解析:以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立平面直角坐标系,如图.可知A(0,3),B(-1,0),C(1,0).设P(x,y),则𝑃𝐴=(-x,3-y),𝑃𝐵=(-1-x,-y),𝑃𝐶=(1-x,-y).所以𝑃𝐵+𝑃𝐶=(-2x,-2y).所以𝑃𝐴·(𝑃𝐵+𝑃𝐶)=2x2-2y(3-y)=2x2+2𝑦-322−32≥-32.当点P的坐标为0,32时,𝑃𝐴·(𝑃𝐵+𝑃𝐶)取得最小值为-32,故选B.-24-高考真题体验典题演练提能4.(2016天津·