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第八单元考点一考点二核心素养专项提升4.3三角函数的图象与性质第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-2-知识梳理双基自测2341,π2,1,,3π2,-1,.(2)在余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),π2,0,,3π2,0,(2π,1).1.正弦函数的“五点法”作图(1)在正弦函数y=sinx(x∈[0,2π])的图象中,五个关键点是:(0,0)(π,0)(2π,0)(π,-1)第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-3-知识梳理双基自测23412.正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RR𝑥x∈R,且x≠kπ+π2,k∈Z值域R周期性2π[-1,1][-1,1]2ππ第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-4-知识梳理双基自测2341函数y=sinxy=cosxy=tanx奇偶性奇函数单调递增区间2𝑘π-π2,2𝑘π+π2(k∈Z)𝑘π-π2,𝑘π+π2(k∈Z)单调递减区间2𝑘π+π2,2𝑘π+3π2(k∈Z)无对称中心k𝜋+𝜋2,0(k∈Z)𝑘π2,0(k∈Z)对称轴x=kπ+π2(k∈Z)无奇函数偶函数[2kπ-π,2kπ](k∈Z)[2kπ,2kπ+π](k∈Z)(kπ,0)(k∈Z)x=kπ(k∈Z)第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-5-知识梳理双基自测23413.周期函数的定义对于函数f(x),如果存在一个,使得当x取定义域内的每一个值时,都有,那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期;函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的周期均为T=2π|𝜔|;函数y=Atan(ωx+φ)的周期为T=π|𝜔|.非零常数Tf(x+T)=f(x)T第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-6-知识梳理双基自测23414.对称与周期正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-7-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)y=cosx在第一、二象限内是减函数.()(2)若y=ksinx+1,x∈R,则y的最大值是k+1.()(3)若非零实数T是函数f(x)的周期,则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期.()(5)函数y=tanx在整个定义域上是增函数.()(4)函数y=sinx图象的对称轴方程为x=2kπ+π2(k∈Z)()××√××第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-8-知识梳理双基自测234152.函数y=tanπ4-𝑥的定义域是()A.𝑥𝑥≠π4,𝑥∈RB.𝑥𝑥≠-π4,𝑥∈RC.𝑥𝑥≠𝑘π-3π4,𝑘∈Z,𝑥∈RD.𝑥𝑥≠𝑘π+3π4,𝑘∈Z,𝑥∈R答案解析解析关闭∵x-π4≠kπ+π2,k∈Z,∴x≠kπ+3π4,k∈Z.答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-9-知识梳理双基自测234153.函数y=cos2x(x∈R)的最小正周期为()A.π2B.πC.2πD.1B第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-10-知识梳理双基自测234154.函数f(x)=sin2𝑥-π4在区间0,π2上的最小值为()A.-1B.-√22C.√22D.0答案解析解析关闭由已知x∈0,π2,得2x-π4∈-π4,3π4,所以sin2𝑥-π4∈-√22,1,故函数f(x)=sin2𝑥-π4在区间0,π2上的最小值为-√22.答案解析关闭B第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-11-知识梳理双基自测234155.函数的单调递增区间是.y=3cos2𝑥-π4答案解析解析关闭由题意,得-π+2kπ≤2x-π4≤2kπ(k∈Z),即-3π8+kπ≤x≤π8+kπ(k∈Z),故所求函数的单调递增区间是-3π8+𝑘π,π8+𝑘π(k∈Z).答案解析关闭-3π8+𝑘π,π8+𝑘π(k∈Z)第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-12-考点1考点2考点3考点1三角函数的定义域、值域例1(1)函数y=2sin𝑥-1的定义域为()A.π6,5π6B.2𝑘π+π6,2𝑘π+5π6(k∈Z)C.2𝑘π+π6,2𝑘π+5π6(k∈Z)D.𝑘π+π6,𝑘π+5π6(k∈Z)(2)函数f(x)=3sin2𝑥-π6在区间0,π2上的值域为()A.-32,32B.-32,3C.-3√32,3√32D.-3√32,3BB第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-13-考点1考点2考点3(3)函数y=sin2x+sinx-1的值域为()A.[-1,1]B.-54,-1C.-54,1D.-1,54思考如何求三角函数的定义域?求三角函数值域的常用方法有哪些?C第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-14-考点1考点2考点3解析:(1)由2sinx-1≥0,得sinx≥12,故2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6(k∈Z).(2)因为x∈0,π2,所以2x-π6∈-π6,5π6,所以sin2𝑥-π6∈-12,1,所以3sin2𝑥-π6∈-32,3,所以函数f(x)在区间0,π2上的值域是-32,3.(3)y=sin2x+sinx-1,令sinx=t,则有y=t2+t-1,t∈[-1,1],画出函数图象如图所示,从图象可以看出,当t=-12及t=1时,函数取最值,代入y=t2+t-1可得y∈-54,1.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点3解题心得1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组),解三角不等式(组)常借助三角函数线或三角函数的图象.2.求三角函数值域、最值的方法:(1)利用sinx和cosx的值域直接求.(2)形如y=asinx+bcosx的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式求值域;形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数,可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域(最值).(3)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3(2)已知f(x)的定义域为[0,1],则f(cosx)的定义域为.(3)函数y=sinx-cosx+sinx·cosx(x∈[0,π])的值域为.(4)若函数f(x)=(1+√3tanx)cosx𝑥∈0,π2,则f(x)的最大值为.对点训练1(1)(2019广西五市联考)若函数f(x)=2sinωx(0ω1)在区间上的最大值为1,则ω=()0,π3𝑥2𝑘π-π2≤𝑥≤2𝑘π+π2,𝑘∈Z[-1,1]2C第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3解析:(1)因为0ω1,0≤x≤π3,所以0≤ωxπ3,所以f(x)在区间0,π3上单调递增,所以f(x)max=fπ3=2sin𝜔π3=1,即sin𝜔π3=12.又因为0≤ωxπ3,所以𝜔π3=π6,解得ω=12.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3(2)由题意,得0≤cosx≤1,即2kπ-π2≤x≤2kπ+π2,k∈Z.(3)令sinx-cosx=t,则t=√2sin𝑥-π4.∵x∈[0,π],∴x-π4∈-π4,3π4,∴t∈[-1,√2].又sinxcosx=1-𝑡22,∴y=t+1-𝑡22=-12(t-1)2+1,当t=1时,ymax=1,当t=-1时,ymin=-1.故函数y的值域为[-1,1].(4)由题意,得f(x)=cosx+√3sinx=2sin𝑥+π6.∵x∈0,π2,∴x+π6∈π6,2π3,∴当x+π6=π2,即x=π3时,f(x)取得最大值2.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3考点2三角函数的单调性例2(1)已知函数f(x)=√3sinωx+cosωx(ω0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π,则f(x)的单调递增区间是()A.𝑘π-π12,𝑘π+5π12,k∈ZB.𝑘π+5π12,𝑘π+11π12,k∈ZC.𝑘π-π3,𝑘π+π6,k∈ZD.𝑘π+π6,𝑘π+2π3,k∈Z(2)已知ω0,函数f(x)=sin𝜔𝑥+π4在π2,π内单调递减,则ω的取值范围是()A.12,54B.12,34C.0,12D.(0,2]思考求三角函数单调区间的一般思路是怎样的?已知单调区间如何求参数的范围?CA第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3解析:(1)f(x)=√3sinωx+cosωx=2sin𝜔𝑥+π6.由函数y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离为π,知函数y=f(x)的最小正周期T=π,所以T=2π𝜔=π,解得ω=2.即f(x)=2sin2𝑥+π6.令2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z).第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-21-考点1考点2考点3(2)由π2xπ得π2ω+π4ωx+π4πω+π4,由题意,知π2𝜔+π4,π𝜔+π4⊆2𝑘π+π2,2𝑘π+3π2,k∈Z,∴π2𝜔+π4≥2𝑘π+π2,𝑘∈Zπ𝜔+π4≤2𝑘π+3π2,𝑘∈Z,∴4k+12≤ω≤2k+54,k∈Z,当k=0时,12≤ω≤54,故选A.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-22-考点1考点2考点3解题心得1.三角函数单调区间的求法:(1)将函数化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω0)的形式,根据y=sinx与y=cosx的单调区间列不等式的方法去解答.列不等式的原则是:①一般当ω为负值时,应用诱导公式化为正值;②把“ωx+φ(ω0)”视为一个“整体”;③当A0(A0)时,所列不等式的方向与y=sinx(x∈R),y=cosx(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反).(2)对于y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ为常数),其周期T=π|𝜔|,利用ωx+φ∈-π2+𝑘π,π2+𝑘π,k∈Z,解出x的取值范围,即为其单调区间.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-23-考点1考点2考点3(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时,通常要画出图象,结合图象判定.注意:求函数的单调区间首先要求函数的定义域,单调区间是定义域的一个子集.2.已知函数在某区间上单调求参数ω的范围的解法:先确定出已知函数的单调区间,再利用已知的单调区间为函数的单调区间的子集的关系求解.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-24-考点1考点2考点3𝑘π-π12,𝑘π+5π12(k∈Z)对点训练2(1)(2019辽宁丹东教学质量监测)若函数f(x)=2sin2𝑥+π6在区间0,𝑥03和2𝑥0,7π6上单调递增,则实数x0的取值范围为()A.π6,π2B.π3,π2C.π6,π3D.π4,3π8(2)函数f(x)=sin-2𝑥+π3的单调递减区间为.B第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-25-考点1考点2考点3解析:(1)由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z),故f(x)的单调递增区间为kπ-π3,kπ+π6(k∈Z).所以f(x)在区间-π3,π6,2π3,7π6上单调递增,所以𝑥03≤π6,2𝑥0≥2π3,解得π3≤x0≤π2.故选B.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-26-考点1考点2考点3(2)