小学数学教学中的演绎推理规则

龙源期刊网小学数学教学中的演绎推理规则作者：李织兰来源：《广西教育·A版》2019年第06期龙源期刊网龙源期刊网【摘要】本文认为部分小学数学教师对演绎推理和数学证明认识有偏差，没有掌握有关逻辑推理的理论知识，特别是不能将演绎推理规则运用于数学证明，甚至看不出某些推理的错误，对发展核心素养“推理能力”和“理性精神”的关注不足，针对这些问题，解读小学数学教材中广泛运用的“三段论”、选言推理、假言推理等常用演绎推理规则，引导小学数学教师在体验中感悟演绎推理规则及隐含在背后的数学思想，并将演绎推理规则运用于小学数学教学，做一个“讲道理”的小学数学教师。【关键词】小学数学演绎推理推理能力数学证明核心素养【中图分类号】G【文献标识码】A【文章编号】0450-9889（2019）06A-0024-05《义务教育数学课程标准》（2011年版）对核心素养“推理能力”的要求，将《全日制义务教育数学课程标准》（实验稿）提出的“发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”中的“初步”二字删去，提高了对“演绎推理能力”的要求，最近“逻辑推理”又被列为六大数学核心素养之一。义务教育阶段数学教学应注意培养学生的推理能力，培养推理能力的核心目标是培养学生的逻辑推理能力和理性精神。“知其所以然，后知其然”，数学是讲逻辑的。亚里士多德所创立的古典逻辑体系中，演绎推理具有多种推理规则。演绎推理主要有“三段论”推理、“假言推理”、“选言推理”等。在前提正确并符合演绎推理规则的情况下，演绎推理的结论一定是正确的，这样的推理也叫做必然推理（必真推理），“穷举法”和“数学归纳法”等完全归纳推理也是必然推理。在小学数学学习过程中，经常用到典型的“直言三段论”、假言推理和选言推理规则。熟悉这些规则，教师在阅读数学教材时能够快速地从中识别出必然推理，对“发展学生理性思维，启蒙学生理性精神”有着非常重要的作用。一、“一般到特殊”的直言三段论古典逻辑体系中的重要的“直言三段论”推理规则，是人类基本的逻辑推理方法。下面我们来看几个标准的“三段论”推理案例。①大前提：所有的人都会死;小前提：苏格拉底是人;结论：苏格拉底会死。龙源期刊网②大前提：所有的金属都能导电;小前提：铜是一种金属;结论：铜能导电。③大前提：一切奇数都不能被2整除;小前提：2007是奇数;结论：2007不能被2整除。④大前提：所有的个位上是0的整数都是5的倍数;小前提：1050个位数上是0;结论：1050是5的倍数。“三段论”蕴含着“从一般到特殊”的推理思想。事物有共性，必然蕴藏着个别，所以“一般”中必然能够推演出“个别”。因此，若大前提和小前提正确，则演绎推理得到的结论一定正确。而“三段论”推演出来的结论是否正确，取决于大前提和小前提是否正确，是否合乎“三段论”逻辑规则。例如，我们在采用“量一量”“拼一拼”“折一折”等实验归纳的方法探究得到了“任意三角形内角和为180°”的结论后，人教版数学教材四年级下册“四边形的内角和是多少度？”有这样的安排：由“矩形（特殊的四边形）的内角和为四个直角，即360°”引发猜想，再用“拼一拼”的实验来验证四边形的内角“和”是一个周角，即360°，最后将四边形内角和化归为两个三角形的和。我们如何证明“所有的四边形的内角和都是360°”？在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形分为两个三角形，利用“直言三段论”推理规则推出四边形的内角和为360°，推理过程如下：用自然语言表达为：如果A，那么B;因为A为真，所以B也为真。使用假言推理常犯的错误是“倒装”，如果B只是A的必要条件，不是充分条件，假言“倒装”不是一个必然推理。例如：大前提：如果一个整数的个位数字是0，那么这个数就能被5整除。龙源期刊网小前提：这个数能被5整除。结论：这个数的个位数字是0。该假言推理的“倒装”就是一个无效推理。（二）假言拒取推理规则根据逻辑命题演算，假言命题“如果A，那么B”与它的逆否命题“如果非B，那么非A”同真同假，即逻辑等价。从而我们得到一个“假言拒取”的必然推理规则（如图4）。用自然语言表达：如果A，那么B;非B（B不成立），所以非A（A也不成立）。例如：大前提：如果一个整数的个位数字是0，那么这个数就能被5整除。小前提：这个数不能被5整除。结论：这个数的个位数字一定不是0。这就是一个必然推理。类似的推理：如果一个大于1的整数不能分解为比它小的两个整数的乘积，那么它为质数;a是一个大于1的合数（不是质数），则a能分解为比它小的两个整数的乘积。“假言拒取”推理规则运用于数学证明，实际上是一种“正难则反”证明方法——反证法。人教版数学教材六年级下册“你知道吗”版块展示了鸽巢原理（抽屉原理），如图5，在数学上，一般是用反证法对鸽巢原理进行严格证明。例如，命題“如果10个苹果放进9个抽屉，总有一个抽屉至少放了2个苹果”。大前提：如果任何一个抽屉都没有2个或以上的苹果（即有1个或1个都没有），那么9个抽屉中的苹果数量就不超过9个;小前提：9个抽屉共放进10个苹果（苹果数量超过9个）;结论：总有一个抽屉至少放了2个苹果。又如，命题“如果5个鸽巢中的任何一个都没有2只或以上的鸽子（即有1只或1只都没有），那么5个鸽巢中的鸽子总数量就不超过5只;现在6只鸽子飞进了这5个鸽巢，所以总有一个鸽巢中有2只或以上的鸽子”。龙源期刊网在小学阶段，虽然并不需要学生对涉及鸽巢原理的相关现象给出严格的、形式化的证明，但教师仍可引导学生用直观的方式对某一具体现象进行“就事论事”式的解释。（三）假言三段论推理规则由假言命题的“传递性”，我们又得到一个演绎推理的规则，这是数学证明中最常用的“综合法”的逻辑规则的依据，如图6。用自然语言表达为：如果A，那么B;如果B，那么C;则有如果A，那么C。例如，如果a与b互为相反数，则a=-b;如果a=-b，则a+b=0;因此，如果a与b互为相反数，那么a+b=0。三、“否定肯定式”和“肯定否定式”的选言推理人教版数学二年级《数学广角——推理》一课要学习的就是“选言推理”规则，但很多教师的教学设计反映出教师并没有把学会“选言推理”规则作为教学目标，课后的交流反映出教师并不知道“选言推理”的推理规则，更不可能将推理规则渗透到教学活动中。以选言命题为前提，并根据选言命题的逻辑特性进行的演绎推理，称为选言推理，也称为“选言三段论”。选言命题分相容的选言命题与不相容的选言命题。相容的选言命题形式：A或者B。当选言支A和B都为假命题时，选言命题“A或者B”为假命题，其余情况均为真命题。不相容的选言命題形式为：要么A，要么B。有且只有一个选言支为真命题，则选言命题“要么A，要么B”为真命题;当选言支全真或全假时，它为假命题。（一）相容选言推理规则如果大前提是一个相容的选言命题，小前提否定一个选言支，结论是肯定剩下的那个选言支。这种“否定肯定式”的必然推理，也叫“相容选言推理规则”，将上述推理进行“符号化”，即将具体的对象进行抽象、概括，形成了选言推理的一般结构形式：用自然语言表达为：命题A或命题B，非B（B不成立），则A一定成立。根据相容的推理规则，我们还可以对课文《数学广角——推理》中的题目进行如下推理：相容的选言推理规则是一种“否定肯定式”必然推理形式，即否定一部分选言支，就要肯定另一部分选言支。但不是“肯定否定式”推理规则，即肯定一部分选言支，不能因此而否定另一部分选言支。例如，下面的选言推理，前者是必然推理，后者不是必然推理。①大前提：a是有理数，或者a是正数;小前提：a不是有理数;龙源期刊网结论：a是正数。（必然成立）②大前提：a是有理数，或者a是正数;小前提：a是有理数;结论：a不是正数。（不一定成立）（二）不相容的选言推理如果大前提是不相容的选言命题，小前提否定除其中一个以外的所有选言支，结论则肯定剩下的那个选言支;小前提肯定其中一个选言支，结论则否定其他的选言支，我们称之为“不相容的选言推理”。其结构形式如图。不相容的选言推理规则有两种必然推理形式：否定除了一个选言支以外的其余选言支，就要肯定那个没有被否定的选言支;肯定一个选言支，就要否定其余的选言支。它既是“否定肯定式”，又是“肯定否定式”。例如：一个三角形，它不是直角三角形，不是锐角三角形，则它一定是钝角三角形;或者，三角形是钝角三角形，它肯定不是直角三角形，也不是锐角三角形，以上两个选言推理都是必然推理。根据不相容的推理规则，我们还可以对课本《数学广角——推理》的例题进行如下推理，如图14。选言推理的大前提是一个选言命题，这就要求我们首先分析清楚各种可能的情况，再根据已知条件进行逻辑推理。教师培养学生选言推理能力，可在阅读或书写推理过程中，使其意会选言推理的规则。一节公开课上，教师出示一张PPT幻灯片如图所示，反映该教师自己没明白选言推理规则，甚至造成错误。结论虽然是正确的，可推理依据的是“经验”，而不是逻辑推理规则。因为，依据前提和推理规则是不能推出“圆圆一定是姐姐”，只能推出“芳芳一定是妹妹”。正确的推理过程如下。四、“虽‘笨’但有效”的完全归纳推理从前有一位富翁想吃杏子，就叫他的一个男仆到果园去买，这个男仆到了果园，园主说：“我这里树上的杏子个个都是甜的，你可以尝了再买。”男仆尝了一个杏子是甜的，又尝一个还是甜的，再尝一个还是甜的，他认为园主的话可信，于是买了一筐杏子回去。富翁吃到的第一个杏子就是酸的，大怒，辞退了男仆。富翁又叫一个女仆到果园去买杏子并告诉她：“甜的你才买，酸的不要买。”女仆人想：“我尝一个或几个杏子怎么就能知道所有杏子都是甜的呢？我龙源期刊网应当每个都尝过，尝一个买一个，这样最可靠。”于是女仆动手摘杏子，摘一个便尝一下，甜的就买回去。富翁一看买回来的杏子，觉得非常恶心，全倒掉了。故事中男仆和女仆的判断方法实际吗？对我们有什么启示？从逻辑上说，他们都使用了归纳推理：从一些个别性的事实论断出发得出一个一般性结论的思维过程。男仆使用的是不完全归纳推理。不完全归纳推理的一般结构形式为：S1具有性质P;S2具有性质P;……;Sn具有性质P，S1，S2，……，Sn都是S类事物，所以，S类事物都具有性质P。不完全归纳推理是从特殊到一般的推理，它是一种重要的思维方法，也是发现规律的重要方法。但我们一定要意识到：不完全归纳推理是或然推理，所得的结论并不可靠。为了弄清其真伪，我们可以再继续研究一系列的特例，如果有不支持结论的“反例”，我们就可以否定结论;或者结论在新的特殊情况中仍被证实，那么结论就变得更加可靠。女仆使用的则是完全归纳推理。完全归纳推理的一般结构形式为：S1具有性质P;S2具有性质P;……;Sn具有性质P，而S1，S2，……，Sn是S类的全部事物，所以，S类事物都具有性质P。完全归纳推理对一类事物的全部对象是否具有某种性质进行了全面的考查，因而它的结论带有必然性。人教版数学教材六年级下册《数学广角——鸽巢问题》中的问题情境：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里至少有2支铅笔。教材利用完全归纳推理规则，使用“完全枚举”的方法得到结论。所谓的完全枚举法就是考虑到各种组合的可能性，对每一组合检查它是否符合给定的条件。看上去好像很笨，要一一测试全部的可能性，但是这种方法确实能解决某些用一般数学方法解决不了的问题。完全归纳推理的缺点是：由于它要考查一类事物的全部对象，一旦遇到考查的对象多到难以记数的时候，它就变得无能为力了;即使勉强地考查下去也极费时间，有時还“得不偿失”。五、教学研究案例：三角形三边之间的关系在教学人教版数学四年级下