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点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系[见B本P42]1．若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是(A)A．点A在圆内B．点A在圆上C．点A在圆外D．不能确定【解析】d＝3cm＜4cm＝r，所以点A在⊙O内．2．已知⊙O的半径为5cm，P为⊙O外一点，则OP的长可能是(D)A．5cmB．4cmC．3cmD．6cm3．矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是(C)A．点B，C均在圆P外B．点B在圆P外，点C在圆P内C．点B在圆P内，点C在圆P外D．点B，C均在圆P内【解析】如图所示．因为AP＝14AB＝14×8＝2，AD＝BC＝35，所以PD＝AD2＋AP2＝（35）2＋22＝7，PB＝8－2＝6，所以PC＝PB2＋BC2＝62＋（35）2＝9.因为PB＜PD＜PC，所以点B在圆P内，点C在圆P外，故选C.4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图24－2－1所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(B)A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块【解析】根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”知所带的碎片必须含有圆弧的部分，只有②符合．图24－2－1图24－2－25．如图24－2－2，已知⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝110°，则∠C的度数为(A)A．55°B．70°C．60°D．45°6．[2012·攀枝花]下列四个命题：①等边三角形是中心对称图形；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．其中真命题的个数有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴①是假命题；如图，AB＝AE，但∠C和∠D不相等，∴②是假命题；三角形有且只有一个外接圆，外接圆的圆心是三角形三边的垂直平分线的交点，∴③是真命题；垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，∴④是真命题．7．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(5，4)，(1，－2)，则△ABC外接圆的圆心坐标是(D)A．(2，3)B．(3，2)C．(1，3)D．(3，1)【解析】作弦AB，AC的垂直平分线，交点即为圆心．8．一个三角形的外心在三角形的内部，则这个三角形是(C)A．任意三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形9．已知⊙O的半径为10cm，点P到圆心的距离为dcm，(1)当d＝8cm时，点P在⊙O__内__；(2)当d＝10cm时，点P在⊙O__上__；(3)当d＝12cm时，点P在⊙O__外__．10．图24－2－3中，△ABC的外接圆的圆心坐标是__(5，2)__．图24－2－3【解析】分别作BC，AB的垂直平分线，交点坐标即为所求．11．已知线段AB＝6cm.(1)画半径为4cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画__2__个；(2)画半径为3cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画__1__个；(3)画半径为2cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画__0__个．图24－2－412．如图24－2－4，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5cm，AC＝10cm，CD为中线，以C为圆心，以525cm为半径作圆，则点A，B，D与⊙C的位置关系如何？【解析】要确定点A，B，D与⊙C的位置关系，需计算出这些点与点C的距离，再与⊙C的半径作比较即可．解：∵△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，∴BC2＋AC2＝AB2，∴AB＝BC2＋AC2＝52＋102＝55(cm)．∵CD为斜边上的中线，∴CD＝12AB＝525cm.∵CA＝10cm＞525cm，∴点A在⊙C外；而CB＝5cm＜525cm，∴点B在⊙C内；又CD＝525cm，∴点D在⊙C上．13．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是__10或8______．【解析】①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长＝162＋122＝20，因此这个三角形的外接圆半径为10.综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10.14．用反证法证明：圆内不是直径的两条弦不能互相平分．【解析】根据反证法的一般步骤来证明．解：如图所示，已知AB，CD是⊙O内的两条非直径弦，且AB与CD相交于点P.求证：AB与CD不能互相平分．证明：假设AB与CD能互相平分，则点P既是AB的中点，也是CD的中点，连接OP.由垂径定理可知：OP⊥AB，OP⊥CD.这表明过直线OP上一点P，有两条直线AB，CD与之垂直，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，故假设不成立，即AB与CD不能互相平分．图24－2－515．如图24－2－5，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD.(1)求证：BD＝CD；(2)请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以BD为半径的圆上，并说明理由．解：(1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴BD︵＝CD︵.∴BD＝CD.(2)B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由(1)知BD︵＝CD︵，∴∠BAD＝∠CBD.∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE，∠DEB＝∠BAD＋∠ABE，∠CBE＝∠ABE，∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE.又∵BD＝CD，∴DB＝DE＝DC.∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．16．用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.已知：△ABC，求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即∠A60°，∠B60°，∠C60°，于是∠A＋∠B＋∠C60°＋60°＋60°＝180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾，所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.17．如图24－2－6所示，⊙O的半径为2，弦BD＝23，A为BD︵的中点，E为弦AC的中点且在BD上，求四边形ABCD的面积．图24－2－6第17题答图解：如图所示，连接OA，OB，设OA交BD于F.∵A为BD︵的中点，∴FO⊥BD，∴BF＝DF＝12BD＝3.∵OB＝2，∴OF＝1，∴AF＝1，∴S△ABD＝12BD·AF＝12×23×1＝3.∵AE＝CE，∴S△ADE＝S△CDE，S△ABE＝S△CBE，∴S△ABD＝S△BCD，∴S四边形ABCD＝2S△ABD＝23.