2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第四章-第1讲-平面向量及其线性运算

第四章平面向量第1讲平面向量及其线性运算1．平面向量的实际背景及基本概念．(1)了解向量的实际背景．(2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．(3)理解向量的几何表示．2．向量的线性运算．(1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．(2)掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共线的含义.(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义．3．平面向量的基本定理及坐标表示．(1)了解平面向量的基本定理及其意义．(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件．名称定义备注向量既有大小又有______的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作____1．向量的有关概念方向0名称定义备注单位向量长度等于1个单位的向量a非零向量a的单位向量为±|a|共线向量(平行向量)方向相同或______的非零向量零向量与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向______的向量记作a＝b（续表）相同相反向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝________(2)当λ0时,λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向______；当λ＝0时，λa＝______λ(μa)＝_____;(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝________（续表）|λ||a|相反λμa0λa＋λb3.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4．平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘及向量的模：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝____________，|a|＝x21＋y21.(λx1，λy1)(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．5．共线向量及其坐标表示(1)向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.2．化简AC－BD＋CD－AB＝(→→→1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝()A．(7,3)C．(1,7)B．(7,7)D．(1,3)→→→→)DA.ABC.BCB.DAD．0A→→→图4-1-1A．0B.BEC.ADD.CF3．如图4­1­1,在正六边形ABCDEF中,BA→＋CD→＋EF→=()D4．已知把向量a＝(1,1)向右平移2个单位，再向下平移1(1,1)个单位得到向量b，则b的坐标为______．解析：因为向量b＝a，所以b＝(1,1)．考点1平面向量的基本概念例1：已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．垂心C．内心D．重心解析：设AB→＋AC→＝AD→，则可知四边形BACD是平行四边形，而由AP→＝λAD→，得A，P，D三点共线．又点D在边BC的中线所在的直线上，则点P的轨迹一定通过△ABC的重心．答案：D【互动探究】1．(2014年新课标Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝()A.BCB.12ADC.ADD.12BCC2．已知点O，N，P在△ABC所在的平面内，且|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，NA→＋NB→＋NC→＝0，且PA→·PB→＝PB→·PC→＝PC→·PA→，则点O，N，P依次是△ABC的()A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心C解析：由|OA→|＝|OB→|＝|OC→|知，O为△ABC的外心；由NA→＋NB→＋NC→＝0知，N为△ABC的重心；∵PA→·PB→＝PB→·PC→，∴(PA→－PC→)·PB→＝0.∴CA→·PB→＝0.∴CA→⊥PB→.同理，PA⊥BC.∴P为△ABC的垂心．考点2向量共线或平行问题例2：(1)(2013年广东惠州二模)已知向量a＝(－1,1)，b＝(3，m)，若a∥(a＋b)，则m＝()A．2C．－3B．－2D．3解析：a＝(－1,1)，b＝(3，m)，a＋b＝(2，m＋1)．∵a∥(a＋b)，∴－(m＋1)＝2，m＝－3.故选C.答案：C(2)(2013年上海闵行二模)已知e1，e2是两个夹角为π2的单位向量，向量a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a∥b，则实数k的值为____________．解析：方法一：a∥b⇒a＝λb⇒e1－2e2＝λ(ke1＋e2)⇒1＝λk，－2＝λ⇒k＝－12.方法二：利用坐标表示向量，则a＝(1，－2)，b＝(k,1)，a∥b，x1y2－x2y1＝1＋2k＝0，解得k＝－12.答案：－12【规律方法】(1)用坐标给出的两个向量平行或共线问题的处理方法：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.(2)一般的两个向量平行或共线问题的处理方法：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥a⇔b＝λa(a≠0)．(3)OP→＝xOA→＋yOB→，P，A，B三点共线⇔x＋y＝1；若PA→＝λPB→，则P，A，B三点共线．【互动探究】3．(2013年陕西)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m＝()C4．(2012年广东广州调研)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b＝()AA．(－2，－1)B．(2,1)C．(3，－1)D．(－3,1)解析：因为a∥b，有2×(－2)＝1×x，x＝－4，则a＋b＝(－2，－1)．A．－2B.2C．－2或2D．0解析：a∥b，有m2＝2，m＝±.考点3向量的应用例3：在平面直角坐标系xOy中,已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(AB→－tOC→)·OC→＝0，求t的值．解：(1)由题设知，AB→＝(3,5)，AC→＝(－1,1)，则AB→＋AC→＝(2,6)，AB→－AC→＝(4,4)．所以|AB→＋AC→|＝210，|AB→－AC→|＝42.故所求的两条对角线的长分别为42，210.(2)由题设知，OC→＝(－2，－1)，则AB→－tOC→＝(3＋2t,5＋t)．由(AB→－tOC→)·OC→＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0.所以t＝－115.【规律方法】以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线分别为两个向量AB→，AC→的和与差，其长度分别为|AB→＋AC→|与|AB→－AC→|.【互动探究】5．如图4-1-2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．图4-1-2若AD→＝xAB→＋yAC→，则x＝______，y＝______.解析：以AB所在直线为x轴、A为原点建立平面直角坐标系，如图D13，过点D作DF⊥AB，交AB的延长线于F.令AB＝2，则AB→＝(2,0)，AC→＝(0,2)．由已知，得DE＝BC＝22，∴BD＝22sin60°＝6.∴DF＝BF＝3，则AD→＝(2＋3，3)．方法一：∵AD→＝xAB→＋yAC→，∴(2＋3，3)＝(2x,2y)，即有2＋3＝2x，3＝2y.解得x＝1＋32，y＝32.图D13方法二：AD→＝AF→＋FD→＝1＋32AB→＋32AC→，∴x＝1＋32，y＝32.答案：1＋3232●易错、易混、易漏●⊙利用方程的思想求解平面向量问题图4-1-3例题：如图4­1­3,在△ABO中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC相交于点M，设OA→＝a，OB→＝b，试用a和b表示向量OM→.正解：设OM→＝ma＋nb，则AM→＝OM→－OA→＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb，AD→＝OD→－OA→＝12OB→－OA→＝－a＋12b.又∵A，M，D三点共线，∴AM→与AD→共线．∴存在实数t1，使得AM→＝t1AD→，即(m－1)a＋nb＝t1－a＋12b.∴(m－1)a＋nb＝－t1a＋12t1b.∴m－1＝－t1，n＝t12.消去t1，得m－1＝－2n.∴m＋2n＝1.①又∵CM→＝OM→－OC→＝ma＋nb－14a＝m－14a＋nb，CB→＝OB→－OC→＝b－14a＝－14a＋b，又∵C，M，B三点共线，∴CM→与CB→共线．∴存在实数t2，使得CM→＝t2CB→.∴m－14a＋nb＝t2－14a＋b.∴m－14＝－14t2，n＝t2.消去t2，得4m＋n＝1.②由①②，得m＝17，n＝37.∴OM→＝17a＋37b.【失误与防范】(1)学生的易错点是：找不到问题的切入口，即想不到利用待定系数法求解．(2)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题学生易忽视点A，M，D共线和点B，M，C共线这两个几何特征．