数学奥林匹克高中训练题(07)及答案

数学奥林匹克高中训练题（07）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题12)在数87653,4,5,6中，最大的一个是(B)．(A)83(B)74(C)65(D)562．(训练题12)设1231,2,3zizizi．则123arg(103)zzz等于(D)．(A)6(B)3(C)32(D)653．(训练题12)甲命题：平面平面，平面平面，则平面//平面．乙命题：平面上不共线的三点到平面的距离相等，则平面//平面．则(D)．(A)甲是真命题，乙是真命题(B)甲是真命题，乙是假命题(C)甲是假命题，乙是真命题(D)甲是假命题，乙是假命题4．(训练题12)若317[()](1,2,3,)2nnan，其中[]x表示不超过x的最大整数，则是数列{}na(C)．(A)各项均为奇数(B)各项均为偶数(C)奇数项是奇数，偶数项是偶数(D)奇数项是偶数，偶数项是奇数5．(训练题12)方程xxexxexx)1(12122的解集为A(其中，e是无理数，2.71828e)．则A中的所有元素的平方和等于(C)．(A)0(B)1(C)2(D)46．(训练题12)在平面直角坐标系中，由不等式100,1122100100100100yxxxyy所限定的图形的面积等于(A)．(A)50π(B)40π(C)30π(D)20π二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题12)若,,abc均为整数，且使得Cbasin50sin89．则cba12．2．(训练题12)如果关于x的不等式1xaxx的解集为一切实数，那么a的取值范围是10a．3．(训练题12)已知棱长为1的正方体1111ABCDABCD，则异面直线1AC与1BC之间的距离等于66．4．(训练题12)数2,1,1xy按指出的顺序成等差数列，并且3,11,cos(arccos)yxxx按指出的顺序成等比数列.则xyxy3．5．(训练题12)在年龄彼此不等的30个人中选出两组，第一组12个人,第二组15个人,使得第一组中年龄最长的人比第二组中年龄最小的人的年龄要小．那么，选取方法数共有4060种．6．(训练题12)若x是实数，则方程]1994[]1993[]4[]3[]2[xxxxxx的解集是0,4,5(其中[]x表示不超过x的最大整数)．第二试一、(训练题12)(本题满分30分)设22()(42)6fxxaxa在区间[0,1]上的最小值为m．试写出用a表示m的表达式)(aFm．并回答：当a为何值时，m取得最大值？这个最大值是多少？(0,0)am二、(训练题12)(本题满分30分)在三棱锥ABCD中90,90.DABBACDACADBBDCADC又知,DBaDCb．试求在三棱锥ABCD内所容体积最大的球的半径．(2()abrab)三、(训练题12)(本题满分30分)已知集合}1994,1993,6,5,4,3,2{M．证明：M中任意取出15个两两互素的元素，其中至少有一个是质数．四、(训练题12)(本题满分30分)用nm个非负实数排成如下一个m行n列的矩形数表：,11a,12a,13a……，,1na1G,21a,22a,23a……，2,na1G……………，……,1ma,2ma,3ma……，,mnamG,1A,2A,3A……，nA分别写出各行诸数的集合平均数12,,,mGGG，在写出各列诸数的算术平均值nAAA,,,21.令12121(,,,)()mmAGGGGGGm，1212(,,,)nnnGAAAAAA．求证:),,,(),,(2121mnGGGAAAAG．