平行四边形的性质与判定讲义精品

平行四边形的性质与判定讲义精品-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-CompanyOne12CFBEDA平行四边形一、知识梳理1．平行四边形：(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形用符号“”表示．平行四边形ABCD记作，读作平行四边形ABCD．2．平行四边形的性质：(1)平行四边形的对边平行且相等．(2)．平行四边形的对角相等，邻角互补。(3)平行四边形的对角线互相平分．(4)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积．例1．ABCD中，∠A的平分线分BC成4cm和3cm两条线段，则ABCD的周长为．例2．在ABCD中，∠C=60o,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F．（1）则∠EDF=；（2）如图，若AE=4，CF=7，则ABCD周长=;例3.在平行四边形ABCD中，已知∠A＝40°，则∠B＝，∠C＝，∠D＝.例4..中，周长为20cm，对角线AC交BD于点O，△OAB比△OBC的周长多4，则边AB＝____________，BC＝____________．变式训练.如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，ΔAOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC和BD的和是多少例5.如图，在□ABCD中，O是对角线的交点，过O的直线交AB于E，交DC于F，图中全等三角形共有（）A．2对B．3对C．6对D．8对3．两条平行线间的距离：(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．(2)两平行线间的距离处处相等．例6、有以下四个说法：①两点的距离，点到直线的距离，两条平行线间的距离，都是指某种线段的长．②如果两点的位置固定，那么它们的距离是定值．③如果一点和一条直线的位置固定，那么它们的距离是定值．④两条平行线间的距离不是定值其中正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．44．平行四边形的面积：(1)如图①，．OFEDCBA3(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图②，有公共边BC，则．例7、如图,四边形ABCD是平行四边形,AB=10，AD=8，ACBC,求AC、OA以及平行四边形ABCD的面积变式训练：1、平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是____________．2、平行四边形的周长为20cm，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=2cm，AF=3cm，求平行四边形ABCD的面积。5．平行四边形的判别方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形为平行四边形．例8如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD是不是平行四边形．变式训练：平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、4CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗为什么★2.两组对边分别相等的四边形为平行四边形例9如图，在ABCD的各边AB、BC、CD、DA上，分别取点K、L、M、N，使AK=CM、BL=DN，则四边形KLMN为平行四边形吗说明理由.变式训练：如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E，F为对角线AC上的点，且AE=CF，求证：BE=DF．★3.一组对边平行且相等的四边形为平行四边形例10如图，□ABCD中，E、F分别在BA、DC的延长线上，且AE=21AB，CF=21CD，试证明AECF为平行四边形.变式训练：如图，AD=BC，∠DAC=∠BCA，试判断四边形ABCD是平行四边形吗请说说你的理由.(7分)ADCB5★4.两组对角分别相等的四边形为平行四边形例11(2008湖北恩施)如图，在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交CD于点E,∠ADC的平分线交AB于点F.试证明四边形DFBE为平行四边形.变式训练：在四边形ABCD中，已知∠A=∠C，∠B=∠D,求证四边形ABCD为平行四边形。★5.对角线互相平分的四边形为平行四边形例12如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．求证：∠EBF=∠FDE．变式训练：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于O，若OE=OF，求证：四边形BFDE是平行四边形6.三角形中位线：定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半。例13．如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE=_______．7、平行四边形知识的运用：OFEDCBA6(1)直接运用平行四边形特征解决某些问题，如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等．(2)识别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行．(3)先识别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题．基础自测一、相信你的选择1．如图1，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（）．(A)18021(B)18032(C)18043(D)18042图1图22．如图2，在□ABCD中，EF(A)7个(B)8个(C)9个(D)11个3．下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）.(A)AB∥CD，AD=BC(B)AB=AD，CB=CD(C)AB=CD，AD=BC(D)∠B=∠C，∠A=∠D5．如图3,在□ABCD中,∠B=110°,延长AD至F,延长CD至E,连接EF,则∠E+∠F的值为().(A)110°(B)30°(C)50°(D)70°图5图3图46．如图4，□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其它线段有（）.(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条7．如图5，点D、E、F分别是AB、BC、CA边的中点，则图中的平行四边形一共有（）.(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个8．在平面上，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，且满足AB=CD．有下列四个条件：（1）OB=OC；（2）AD∥BC；（3）BODOCOAO；（4）∠OAD=∠OBC．若只增加其中的一个条件，就一定能使∠BAC=∠CDB成立，这样的条件可以是A．（2）、（4）B．（2）C．（3）、（4）D．（4）二、试试你的身手1．在平行四边形ABCD中，若∠A-∠B=70°，则∠A=_______，∠B=_______，∠C=_______，∠D=_________．2．在□ABCD中，AC⊥BD，相交于O，AC=6，BD=8，则AB=________，BC=_________．3．如图6，已知□ABCD中，AB=4，BC=6，BC边上的高AE=2，则DC边上的高AF的长是7________．图6图74．如图7,△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，且DE=6cm，则BC=__________．5．用40cm长的长绳围成一个平行四边形，使长边与短边的比是3：2，则长边是____cm,短边是_____cm.图9图106.如图9,□ABCD中,DB=DC,∠C=70°,AE⊥BD于E,则∠DAC=_____度.7.如图10，E、F是□ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：，使四边形AECF是平行四边形．三、解答题1.如图11，在□ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为25，AB=12，求对角线AC与BD的和.图112.如图12,在□ABCD中,已知点E和点F分别在AD和BC上,且AE=CF,连结CE和AF,试说明四边形AFCE是平行四边形.图123.如图13,□ABCD中，BD⊥AB，AB=12cm，AC=26cm，求AD、BD长．图1384.如图14，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：（1）⊿AFD≌⊿CEB．（2）四边形ABCD是平行四边形．课后作业：91．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式子中一定成立的是A．ACBDB．OA=OCC．AC=BDD．AO=OD()2．如图，平行四边形的周长为cm28，ABC的周长是cm22，则AC的长为()A．cm6B．cm12C．cm4D．cm83．如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分BAD交BC边于点E，则线段BE、EC的长度分别为A．2和3B．3和2C．4和1D．1和44．将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法共有A．1种B．2种C．3种D．无数种()5．平行四边形ABCD中，A：B：C：D的值可以是()A．4：3：3：4B．7：5：5：7C．4：3：2：1D．7：5：7：56．如图，在平行四边形ABCD中，延长BA至E，下列各式不一定成立的是()A．1+2=1800B．2+3=1800C．3+4=1800D．2+4=18007．两个全等的不等边三角形，可以拼成（不许重叠）形状不同的平行四边形的个数最多为A．2B．3C．4D．5()8．已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中能分别作为它的两条对角线长的是A．10与16B．12与16C．20与22D．10与40()9．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，并交AD于E，交BC与F，若AB=4，BC=5，OE=，那么四边形EFCD的周长是()A．16B．14C．12D．1010．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点O在BD上，则图中面积相等的平行四边形有()A．1对B．2对C．3对D．4对C第1题ODBAC第2题DBAC第3题EDBAGC第10题ODBAEHFC第10题DBAEFEC第6题1DA243BEC第9题ODBAF1011．在平行四边形ABCD中，AEBC于E，AFCD于F，若AE=4，AF=6，平行四边形ABCD的周长为40，则S平行四边形ABCD．12．自平行四边形650角的顶点作平行四边形的两条高，则这两条高的夹角为．13．O是平行四边形ABCD的对角线的交点，ABO的面积为52cm，则这个平行四边形的面积为．14．如图，等腰ABC中，AB=AC，AB=8cm，D为BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB，则平行四边形AEDF的周长为．15．在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，AB：BC=1：2，则AMD=．C第14题DBAEF