太阳影子定位技术数学建模

利用影长变化来定位的方法研究摘要本文基于太阳的运动学规律，设计出了一套符合于题目要求的模型。首先，我们利用地球自转与地球公转的运动规律将影子分成东西方向和南北方向的分量，然后分别表示出南北分量上与东西分量影子长度的变化，发现在南北方向上影子的长度在一天中不会发生变化（可以忽略不计），影子长度产生变化的主要原因是地球产生自转，分别建立了模型一、模型二、模型三解决问题一、问题二、问题三和问题四的一部分。模型一：首先分析了太阳直射点在不同的时间段直接影响正午太阳直射杆的影子的长度，然后建立模型来刻画影子长度的变化，求得函数关系式，并用MATALAB给出了2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线；模型二：利用影子分量的变化规律，建立方程，通过MAPLE中多项式的求解方法，算出经度值与纬度值，从而确定杆的位置；模型三：因为附件2没有给出了日期、只给出了横纵坐标，所以在模型二的基础上，我们通过解方程组可以得到地理纬度和太阳直射点纬度，然后通过太阳直射点纬度解出第几天，从而确定日期。关键词经纬度东西方向分量南北方向分量定位方法一、引言、问题重述如何通过太阳影子长度的变化来估计杆所在的位置、时间？研究发现太阳影子长度的变化遵循着某种函数规律，我们的目标就是想通过研究这种规律来进行定位和确定日期。太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。我们小组对这个方法进行了探究。二、问题的解决问题一模型的建立建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。为了便于研究，我们以北半球为例。在不同时间段例影子可能会出现以下三种情况：符号说明：我们规定为杆所在的纬度，为太阳光线与赤道面的夹角，即正午太阳高度角的余角，的正切值就是正午时影子与身高的比值，a表示地球自转角度。假设一个杆的身高为n，正午时我们测得影子长为m，规定mn，那么tanmn。1．如右图，太阳在我们的南方，但太阳直射点在赤道以北，这种情况出现在每年的3月21日和当年的9月23日之间。2．如右图，太阳在我们的南方，且太阳直射点在赤道以南，这种情况出现在每年的9月23日和次年的3月21日之间3．如右图，太阳在我们的北方，这种情况下杆只可能在赤道以北，北回归线以南为了将以上三种情况统一，我们规定杆在北半球时，恒大于零，太阳直射点在北半球时大于零，太阳直射点在南半球时小于零，那么。由地理知识可知，太阳直射点在一年中有两次扫过赤道，并各有一次到达南北回归线，且南北回归线所在的为都是23°26´N和23°26´S，由春分日开始太阳直射点的运动经过顺序为赤道（3月21日）→北回归线（6月22日）→赤道（9月23日）→南回归线（12月22日）→赤道（3月21日）。因此在一年中所变化的角度为4×23°26´=3416´，一年中有365天（不考虑闰年多出来的一天），那么，有计算器可知在每一天里变化的角度就是3416´÷365=9.3589´（近似值），我们将它记为常数X.由于的大小随日期的变化而变化，且在3月21日和9月23日之间为正（太阳直射点在北半球），在9月23日和3月21日之间为负（太阳直射点在南半球），因此我们可以作出t图像。图42015年10月22日离秋分X为29天，计算得出这天直射纬度在南纬7.47°，天安门广场的经纬度为（北纬39.90°，东经116.39°），可得=7.47°+39.90°=47.37°，正午时刻3米的杆的影长与杆的比值为3tanmnm，求得25.3m米。以东经116.9°为正午时刻点，原9：00-15：00变化为8：48-14：48（北京时间正午十二点是以东经120°的经线为准，东经116.39°与之相差3.61°，时间较之早12602436061.3分种）用MATLAB编程：symsxyezplot('(3.25^2+(3*tan((15*x-180)/180*pi))^2)^(0.5)',[8.8,14.8])问题二模型的建立根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。如右图G中，1P、2P为不同纬度相同经度的不同太阳位置.AB为杆，,MN为地面上的点，且2PN、1PN垂直于地面，BSBS21,分别为1P、2P所对应的影子，因为1P、2P到地面距离近似相等（取为AU1，注：AU为天文学单位，即1.49597870691亿公里），所以ABNPABMP21，由相似可证图G图GBSMSABMP111，BSNSABnP222，易证2121//PPSS，即太阳在同经度上不同纬度的变化不会影响影子在东西方向上的长度。同理当太阳在同纬度上不同经度的变化也不会影响影子在南北方向上的长度。影子每天长度的变化只与经度有关，当地球自转a角度时相应的影子只在东西方向上改变长度，南北长度b不变。根据附件1，i每增加1，经度增加0.75°。北b南东iah*75.0tan西整数；243tan212122222开始且为从iyxyxbiahii2121222tanyxbah①2112112225.7tan11yxbahi时，②22122122215tan21yxbahi时，③②-①得21212112112222tan5.7tanyxyxahah④③-①得21212212212222tan15tanyxyxahah⑤35.078.0tan5.7tantan15tan④⑤2121211211212122122122222222yxyxyxyxahahahah得模型的求解：这里实根是4.73710，17.60307（前两个），后面是虚根，舍去。4.73710tana利用arctan函数求得角度为78°，78°是14：42时的角度，转换成中午12点时的角度为118°，当地的经度为118°将结果反代入上述方程，得到纬度值为18°，所求地点为东沙群岛的海上17.60307tana利用arctan函数求得角度为86.75°，86.75°是14：42时的角度，转换成中午12时的角度为126.75°，问题三模型的建立根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。求附件2的地点和日期整数；243tan212122222开始且为从iyxyxbiahii2121222tanyxbah①2112112225.7tan11yxbahi时，②22122122215tan21yxbahi时，③②-①得21212112112222tan5.7tanyxyxahah④③-①得21212212212222tan15tanyxyxahah⑤626.1506.0824.0tan5.7tantan15tan④⑤2121211211212122122122222222yxyxyxyxahahahah得用MATLAB画出ahahahah22222222tan5.7tantan15tan的函数图像由图像求得经度为1803.1=74.48°问题四模型的建立根据问题二的模型，我们用截图工具截取了三张图片，然后通过画图工具进行测量，得到下表：时间杆顶点杆底部影顶点9:00893,203891,8771649,8699:15891,201891,8751577,8779:30897,204893,8771512,884由于杆与影处于同一平面当中，杆长与影长成比例，由上述坐标可得到影长的值，分别为：2.322.031.84模型求解：73.2tan5.7tantan15tan2121211211212122122122222222yxyxyxyxahahahah求得a为86.7°该点所在的经度为41.7°三、模型评价上述模型尽管思路正确、建模合理，但计算能力欠缺，导致结果有误，甚至无法进行，所以加强数学运算推理能力是本建模正确求解的关键所在。同时，我们在建模过程中发现，数据是必不可少的，在今后的数学分析中，我们一定要做好数据的搜集这一前提工作。21世纪是一个知识爆炸的年代，随着科学技术的飞速发展，我们的生活更加便捷。所以上述定位及确定时间的方法并不实用，但建模的创新意识与实践能力是此模型突出的特点之一，通过数学建模可以对数学基础知识、基本技能和思维能力、运算能力、空间想象能力等方面得到训练和提高。所以该建模可以培养学生的分析和解决实际问题的能力。四、模型推广利用航拍提供的人的高度和影子的长度，可得到人的具体位置，能应用到野外救生和追踪罪犯。同样，这个模型可以应用到情报收集等军事领域。五、参考文献[1]周凯等数学建模竞赛入门与提高，浙江大学出版社，2012.1。[2]陈光亭等数学建模第二版，高等教育出版社，2014.1。[3]张学敏倪红霞MATLAB基础及应用，中国电力出版社，2012.2。[4]韩中庚数学建模实用教程高等教育出版社。