2019年高考数学理二轮复习专题角函数与平面向量

2019年高三二轮复习讲练测之讲案【新课标版理科数学】专题三三角函数与平面向量考向一三角恒等变形【高考改编☆回顾基础】1．【两角和差的三角函数、特殊角的三角函数值】【2018年全国卷II文】已知，则__________．【答案】2.【三角函数的定义、诱导公式】【2018年浙江卷改编】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；【答案】（Ⅰ）.【解析】（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.3.【同角三角函数、两角和差的三角函数、二倍角公式】【2018年江苏卷】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．【命题预测☆看准方向】三角部分主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换及解三角形等基本知识.三角函数与解三角形相结合或三角函数与平面向量相结合是考向的主要趋势,试题难度为中低档.三角恒等变换是高考的热点内容,主要考查利用各种三角函数进行求值与化简,其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点,切化弦、角的变换是常考的三角变换思想.（1）预计2019年高考仍将在角的变换、角的范围方面对三角恒等变形进行考查，对两角和与差、二倍角公式将重点考查；（2）对三角恒等变换的考查力度可能会加大，对角的变换的考查，使问题更具有综合性，复习时需加强这方面的训练；（3）通过三角恒等变换，化简三角函数式，进一步研究函数的性质、解三角形等是常考题型.【典例分析☆提升能力】【例1】【重庆市第一中学2019届10月月考】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于轴对称，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由角α与角β终边关于x轴对称，得α+β=2kπ（k∈Z），∴，又两边平方可得：1-，∴，即故选：B【趁热打铁】【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆：，点，，记射线与轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的坐标为__________．【答案】【例2】【2018江西省赣州厚德外国语学校上学期第一次测试】0002cos10sin20sin70的值是（）A.12B.32C.2D.3【答案】D【解析】故选D.【趁热打铁】【2018届江西省六校第五次联考】已知2，7sin22cos，则11πsin2__________.【答案】437【解析】∵2，∴cosα0.∵7sin2α=2cosα,即14sinαcosα=2cosα,∴17sin，则21143127sincossin.【方法总结☆全面提升】(1)巧记六组诱导公式对于“2k，Zk的三角函数值”与“角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限．(2)几个常见的变形切入点：cossin可凑倍角公式；cos1可用升次公式；sin1可化为2cos1，再用升次公式；或21sinsincos22④sincossin22baba（其中abtan）这一公式应用广泛，熟练掌握.⑤当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；⑥当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．⑦常见的配角技巧：22；()；()；1[()()]2；1[()()]2；()424；()44.【规范示例☆避免陷阱】【典例】若函数1cos2()sincos()224sin()2xxxfxax的最大值为2，试确定常数a的值．【规范解答】∵222cos111()sincoscossinsin()4cos222244xxxafxaxaxxx，1tana，由已知得214154aa.【反思提高】善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，完成统一角和角与角转换的目的是三角函数式的求值的常用方法.三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．【误区警示】已知表达式中要根据诱导公式以及二倍角公式的降幂变形，最后利用辅助角公式将函数转化为关于x的三角函数的表达式，用错公式是本题易于出错的原因.考向二三角函数的图象和性质【高考改编☆回顾基础】1．【三角函数图象的变换、三角函数的单调性】【2018年理天津卷】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减【答案】A2.【同角三角函数、二倍角公式、三角函数的周期性及最值】【2018年新课标I卷文】已知函数，则A.的最小正周期为π，最大值为3B.的最小正周期为π，最大值为4C.的最小正周期为，最大值为3D.的最小正周期为，最大值为4【答案】B3.【辅助角公式、三角函数的周期】【2017山东改编】函数3sin2cos2yxx最小正周期为.【答案】π【解析】因为π3sin2cos22sin23yxxx,所以其周期2ππ2T,4.【三角函数的解析式】【2017天津改编】设函数()2sin()fxx，xR，其中0，||.若5()28f，()08f，且()fx的最小正周期大于2，则，.【答案】23，125.【和差倍半的三角函数、三角函数周期及单调性】【2017浙江改编】已知函数f（x）=sin2x–cos2x–23sinxcosx（xR）．求)(xf的最小正周期及单调递增区间．【答案】最小正周期为，单调递增区间为Zkkk]32,6[．【解析】【命题预测☆看准方向】三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内容.三角函数的图象,主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题,常以选择题、填空题的形式考查,目前浙江高考也以解答题形式考查.试题难度为中低档.三角函数的性质,通常是给出函数解析式,先进行三角变换,将其转化为y=Asin(ωx+φ)的形式再研究其性质,或知道某三角函数的图象或性质求其解析式,再研究其他性质,既有直接考查的客观题,也有综合考查的主观题.预测:三角函数的图象与性质考查方式较灵活,主要考查方式以综合三角恒等变换求性质为主,通过三角恒等变换，化简三角函数式，进一步研究函数的性质，考试题型选择题、填空题和解答题都可能出现.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018年文北京卷】已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ），所以的最小正周期为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因为，所以.要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.所以，即.所以的最小值为.【趁热打铁】已知函数sin,fxx其中0，π2,（1）若π3πcoscossinsin0,44求的值；（2）在（1）的条件下，若函数fx的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数fx的解析式；并求最小正实数m，使得函数fx的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数.【答案】（1）4；（2）12m.【解析】（1）由3coscossinsin044得coscossinsin044即cos04又,24（2）由（1）得，sin4fxx，依题意，23T，又2,T故3,sin34fxx函数fx的图象向左平移m个单位后所对应的函数为sin34gxxm，gx是偶函数当且仅当342mkkZ即312kmkZ从而，最小正实数12m.【例2】【2017浙江，18】已知函数f（x）=sin2x–cos2x–23sinxcosx（xR）．（Ⅰ）求)32(f的值．（Ⅱ）求)(xf的最小正周期及单调递增区间．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为，单调递增区间为Zkkk]32,6[．【解析】（Ⅱ）由xxx22sincos2cos与xxxcossin22sin得)62sin(22sin32cos)(xxxxf所以)(xf的最小正周期是由正弦函数的性质得Zkkxk,2236222解得Zkkxk,326所以)(xf的单调递增区间是Zkkk]32,6[．【趁热打铁】已知函数2211sin3sincoscos22fxxxxx．（1）求函数yfx在0,π上的单调递增区间．（2）若π7π,312且35f，求π12f的值．【答案】（1）π0,3和5π,π6；（2）33410【解析】函数22111sin3sincoscos3sincoscos2222fxxxxxxxxπ26sinx，（1）令πππ2π22π262kxk，kZ，得ππππ63kxk，kZ，所以函数yfx在0,π上的单调递增区间为π0,3和5π,π6．（2）因为π7π,312，所以ππ2,π62．因为π3265fsin，所以π4cos265，所以πππππππsin2sin2sin2coscos2sin12666666f，3341334525210．【例3】【2018广东广州海珠区综合测试（一）】设函数cos23fxx，则下列结论错误的是（）A.fx的一个周期为B.yfx的图像关于直线23x对称C.2fx的一个零点为3xD.fx在区间,32上单调递减【答案】D【解析】cos23fxx的周期为T=k,所以A对；当23x时，2?,3xcos=-1,所以B对；3x时，2?cos21033xx，，所以C错；,32x时，22333x，，y=cosx在233，上递减，所以D对；故选C.【趁热打铁】已知函数的部分图象如图所示，下面结论正确的个数是()①函数的最小正周期是；②函数在区间上是增函数；③函数的图象关于直线对称；④函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到A.3B.2C.1D.0【答案】C【解析】根据函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω0)的部分图象知，=−(−)=,∴T==π，ω=2；根据五点法画图知,2×(−)+φ=0,解得φ=；∴f(x)=sin(2x+)；对于①,函数f(x)的最小正周期是T=π，①错误；对于②,x∈[,]时,2x+∈[,]，f(x)在[,]上是减函数，②错误；对于③,x=时,2x+=，∴函数f(x)的图象关于直线x=对称，③正确；对于④,由f(x)=sin(2x+)=sin2