1988考研数学真题

1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求幂级数1(3)3nnnxn的收敛域.(2)设2()e,[()]1xfxfxx且()0x,求()x及其定义域.(3)设为曲面2221xyz的外侧,计算曲面积分333.Ixdydzydzdxzdxdy二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)(1)若21()lim(1),txxfttx则()ft=_____________.(2)设()fx连续且310(),xftdtx则(7)f=_____________.(3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]上定义为()fx22x1001xx,则的傅里叶()Fourier级数在1x处收敛于_____________.(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],AαγγγBβγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,AB则行列式AB=_____________.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()fx可导且01(),2fx则0x时,()fx在0x处的微分dy是(A)与x等价的无穷小(B)与x同阶的无穷小(C)比x低阶的无穷小(D)比x高阶的无穷小(2)设()yfx是方程240yyy的一个解且00()0,()0,fxfx则函数()fx在点0x处(A)取得极大值(B)取得极小值(C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少(3)设空间区域2222222212:,0,:,0,0,0,xyzRzxyzRxyz则(A)124xdvdv(B)124ydvydv(C)124zdvzdv(D)124xyzdvxyzdv(4)设幂级数1(1)nnnax在1x处收敛,则此级数在2x处(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定(5)n维向量组12,,,(3)ssnααα线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数12,,,,skkk使11220sskkkααα(B)12,,,sααα中任意两个向量均线性无关(C)12,,,sααα中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)12,,,sααα中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分6分)设()(),xyuyfxgyx其中函数f、g具有二阶连续导数,求222.uuxyxxy五、(本题满分8分)设函数()yyx满足微分方程322e,xyyy其图形在点(0,1)处的切线与曲线21yxx在该点处的切线重合,求函数().yyx六、（本题满分9分）设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为2(0kkr为常数,r为A质点与M之间的距离),质点M沿直线22yxx自(2,0)B运动到(0,0),O求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.七、（本题满分6分）已知,APBP其中100100000,210,001211BP求5,.AA八、（本题满分8分）已知矩阵20000101xA与20000001yB相似.(1)求x与.y(2)求一个满足1PAPB的可逆阵.P九、（本题满分9分）设函数()fx在区间[,]ab上连续,且在(,)ab内有()0,fx证明:在(,)ab内存在唯一的,使曲线()yfx与两直线(),yfxa所围平面图形面积1S是曲线()yfx与两直线(),yfxb所围平面图形面积2S的3倍.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于19,27则事件A在一次试验中出现的概率是____________.(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于65”的概率为____________.(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知221()e,(2.5)0.9938,2uxxdu则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率密度函数为21(),(1)Xfxx求随机变量31YX的概率密度函数().Yfy