二面角的求法总结

探究准备：一、忆一忆：1、二面角的概念，二面角的平面角的概念，二面角的大小范围；2、三垂线定理、平面的法向量。答：1、二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形；平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。二面角的大小范围：[00，1800];2、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直；平面的法向量：直线L垂直平面α，取直线L的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量）探究准备：二、想一想：1、怎样做出二面角的平面角？答：1、做二面角的平面角主要有3种方法：（1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2条射线，这2条所夹的角；（2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；（3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B）再做棱的垂线，记垂足为C，连接AC，则∠ACB即为该二面角的平面角。ABCαβαβαβγ2、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？探究准备：答：相等或互补αβm互补αβ相等m2探究一：试一试：例1、如图：在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC,DE垂直平分SC,分别交AC、SC于D、E，且SA=AB=a,BC=a.求：平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小。SAECBD分析：1、根据已知条件提供的数量关系通过计算证明有关线线垂直；2、利用已得的垂直关系找出二面角的平面角。解：如图：∵SA⊥平面ABC,∴SA⊥AB，SA⊥AC，SA⊥BD;于是SB==a又BC=a，∴SB=BC;∵E为SC的中点，∴BE⊥SC又DE⊥SC故SC⊥平面BDE可得BD⊥SC又BD⊥SA∴BD⊥平面SAC∴∠CDE为平面BDE和平面BDC所成二面角的平面角。∵AB⊥BC，∴AC===a在直角三角形SAC中，tan∠SCA==∴∠SCA=300，∴∠CDE=900--∠SCA=600解毕。22ABSA2222BCAB222aa3ACSA33议一议：刚才的证明过程中，是用什么方法找到二面角的平面角的？请各小组讨论交流一下。SECABD探究二：试一试例二：如图：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是菱形，AD=AA1，∠DAB=600,F为棱AA1的中点。求：平面BFD1与平面ABCD所成的二面角的大小。A1D1C1B1ADCBF要求：1、各人思考；2、小组讨论；3、小组交流展示；4、总结。A1D1C1CB1BDAPF如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线。∵F是AA1的中点，∴可得A也是PD的中点，∴AP=AB,又∵∠DAB=600,且底面ABCD是菱形，∴可得正三角形ABD,故∠DBA=600,∵∠P=∠ABP=300,∴∠DBP=900,即PB⊥DB；又因为是直棱柱，∴DD1⊥PB,∴PB⊥面DD1B,故∠DBD1就是二面角D1-PB-D的平面角。显然BD=AD=DD1,∴∠DBD1=450。即为所求.解毕。解法一：A1D1C1B1FADCBPE解法二：如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线；因为是直棱柱，所以AA1⊥底面ABCD,过A做AE⊥PB,垂足为E,连接EF,由三垂线定理可知，EF⊥PB,∴∠AEF即为二面角D1-PB-D的平面角；同解法一可知，等腰△APB,∠P=300，Rt△APB中，可求得AE=1，（设四棱柱的棱长为2）又AF=1,∴∠AEF=450，即为所求。思考：这种解法同解法一有什么异同？解法三：法向量法：建系如图：设这个四棱柱各棱长均为2.则D(0，0，0）D1（0，0，2）B（1，，0）F（-1，，1）∴=（-2，0，1）=（1，，-2）显然，就是平面ABCD的法向量，再设平面BDD1的一个法向量为向量=(x0,y0,z0)。则⊥且⊥∴2x0+0y0-z0=0且x0+y0-2z0=0令x0=1可得z0=2,y0=,即=（1，，2）设所求二面角的平面角为θ，则COSθ==,所以所求二面角大小为450解毕A1D1C1B1ABCDxyz3333F11DDuDDu221DDBFBD1uuFBuBD1u33解法四：A1D1C1B1FCBDA如图：由题意可知，这是一个直四棱柱，△BFD1在底面上的射影三角形就是△ABD,故由射影面积关系可得COSθ=ＳABD／ＳBＦＤ1（θ是所求二面角的平面角）以下求面积略。点评：这种解法叫做“射影面积法”在选择和填空题中有时候用起来会很好总一总：求二面角的方法你都学会了哪些？每一种方法在使用上要注意什么问题？请同学们先自己思考，然后小组内交流学习一下。二面角的几种主要常用的求法：1、垂面法。见例一和例二的解法一；2、三垂线法。见例二的解法二；3、射影面积法。见例二的解法三；4、法向量夹角法。见例二的解法四。其中垂面法和三垂线法也是直接找平面角的方法，也称为直接法；射影面积法和法向量法是没有找出平面角而求之的方法，也称之为间接法。这几种方法是现在求二面角的常用的方法，在高考中经常被考查；尤其是向量法，更有着广泛的被考查性，在应用的时候主要注意以下两点：1、合理建系。本着“左右对称就地取材”的建系原则。2、视图取角。由于法向量的取定有人为的因素，其夹角不一定正好是二面角的平面交的大小，我们要视原图形的情况和题意条件进行正确的选择大小，即要么是这个角，要么是它的补角。点评2试一试：例1、如图：在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC,DE垂直平分SC,分别交AC、SC于D、E，且SA=AB=a,BC=a.求：平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小。SAECBD请同学们将刚才的例一用其他方法试一下：规范训练一1、（本小题为2007年山东高考试卷理科19题）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知：DC=DC1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB//DC（Ⅰ）设E是DC的中点，求证：D1E//平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A1-BD-C1余弦值。谢谢大家的合作祝大家学习进步再见