两向量的向量积

上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology二、两向量的向量积一、两向量的数量积§7.2数量积向量积上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology一、两向量的数量积设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2.以s表示位移.•数量积的物理背景由物理学知道,力F所作的功为W|F||s|cos,其中为F与s的夹角.上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology对于两个向量a和b,它们的模|a|、|b|及它们的夹角的余弦的乘积称为向量a和b的数量积,记作ab,即a·b|a||b|cos.数量积的定义根据数量积,力F所作的功W就是力F与位移s的数量积,即WFs.一、两向量的数量积上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology•数量积与投影由于|b|cos|b|cos(a,^b),当a0时,|b|cos(a,^b)是向量b在向量a的方向上的投影,于是a·b|a|Prjab.同理,当b0时,a·b|b|Prjba.所以,对于两个向量a和b,它们的模|a|、|b|及它们的夹角的余弦的乘积称为向量a和b的数量积,记作ab,即a·b|a||b|cos.数量积的定义一、两向量的数量积上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology数量积的性质(1)a·a|a|2.(2)对于两个非零向量a、b,如果a·b0,则ab;反之,如果ab,则a·b0.如果认为零向量与任何向量都垂直,则aba·b0.对于两个向量a和b,它们的模|a|、|b|及它们的夹角的余弦的乘积称为向量a和b的数量积,记作ab,即a·b|a||b|cos.数量积的定义一、两向量的数量积上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology数量积的运算律(1)交换律:a·bb·a;(2)分配律:(ab)·ca·cb·c.(3)(a)·ba·(b)(a·b),(a)·(b)(a·b),其中、为数.对于两个向量a和b,它们的模|a|、|b|及它们的夹角的余弦的乘积称为向量a和b的数量积,记作ab,即a·b|a||b|cos.数量积的定义一、两向量的数量积上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology例1试用向量证明三角形的余弦定理.要证c2a2b2-2abcos.则有ca-b,从而|c|2cc(a-b)(a-b)aabb-2ab|a|2|b|2-2|a||b|cos(a,^b),即c2a2b2-2abcos.证明在DABC中,∠BCA,|CB|a,|CA|b,|AB|c,记CBa,CAb,ABc,则有上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology提示：数量积的坐标表示aaxiayjazk,bbxibyjbzk,a·b(axiayjazk)·(bxibyjbzk)axbxi·iaxbyi·jaxbzi·kaybxj·iaybyj·jaybzj·kazbxk·iazbyk·jazbzk·kaxbxaybyazbz.a·baxbxaybyazbz.设a(ax,ay,az),b(bx,by,bz),则上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology数量积的坐标表示a·baxbxaybyazbz.设a(ax,ay,az),a(bx,by,bz),则设(a,^b),则当a0、b0时,有向量夹角余弦的坐标表示提示:a·b|a||b|cos.222222||||coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababababa.222222||||coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababababa.上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology例2已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求AMB.从M到A的向量记为a,从M到B的向量记为b,则AMB就是向量a与b的夹角.2011||222a,2101||222b,因为ab1110011,b(2,1,2)-(1,1,1)a(2,2,1)-(1,1,1)(1,1,0),(1,0,1).解所以21221||||cosbabaAMB.从而3AMB.上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology从而,所求液体的质量为PrAv·n.体积为A|v|cosAv·n.这柱体的高为|v|cos,解单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、斜高为|v|的斜柱体.例3在流速为(常向量)v的液体内有一个平面区域A,n为垂直于A的单位向量,计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P(液体的密度为r).上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology二、两向量的向量积设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出:c的模|c||a||b|sin(a,^b);c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手规则从a转向b来确定.向量积的定义右手规则那么,向量c叫做向量a与b的向量积,记作ab,即cab.上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology向量积的定义二、两向量的向量积向量a与b的向量积cab:|c||a||b|sin(a,^b);c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手规则从a转向b来确定.向量积的性质(1)aa0;(2)对于两个非零向量a、b,如果ab0,则a//b;反之,如果a//b,则ab0.如果认为零向量与任何向量都平行,则a//bab0.上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology在空间直角坐标系中iijjkk?ij?jk?ki?(1)交换律:ab-ba;(2)分配律:(ab)cacbc;(3)(a)ba(b)(ab)(为数).向量积的运算律讨论：提示：iijjkk0,ijk,jki,kij.上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology向量积的坐标表示设aaxiayjazk,bbxibyjbzk,则提示：ab(aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k.azbxkiazbykj.ab(axiayjazk)(bxibyjbzk)axbyijaxbzikaybxjiaybzjk(aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k.iijjkk0,ijk,jki,kij.上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnologyaybziazbxjaxbyk-aybxk-axbzj-azbyi利用三阶行列式符号,上式可写成•记忆方法(aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k.向量积的坐标表示设aaxiayjazk,bbxibyjbzk,则ab(aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k.zyxzyxbbbaaakjiba上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology例4设a2i-3jk,bi-j3k,计算ab.设aaxiayjazk,bbxibyjbzk,则(aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k.解:zyxzyxbbbaaakjibakjikjiba----58311132上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology解:例5已知,,求DOAB的面积.ji3OAkj3OB根据向量积的几何意义,表示以和||OBOAOAOB为邻边的平行四边形的面积,于是DOAB的面积为||21OBOASkjikji--33310301OBOA因为191)3()3(||223--OBOA所以三角形DOAB的面积为1921||21OBOAS上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology提示：例6设刚体以等角速度绕l轴旋转,计算刚体上一点M的线速度.刚体绕l轴旋转时,我们可以用在l轴上的一个向量表示角速度,它的大小等于角速度的大小,它的方向由右手规则定出:即以右手握住l轴,当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时,大姆指的指向就是的方向.解轴上任取一点O作向量r,并以表示设点M到旋转轴l的距离为a,再在l与r的夹角,那么OM上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology设线速度为v,那么由物理学可知|v|||a|||r|sin;a|r|sin.v垂直于与r,且v的指向是使、r、v符合右手规则.因此有vr.例6设刚体以等角速度绕l轴旋转,计算刚体上一点M的线速度.解轴上任取一点O作向量r,并以表示设点M到旋转轴l的距离为a,再在l与r的夹角,那么OM上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology向量的概念向量的加减法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）小结