金融数学试卷及答案

一、填空（每空4分，共20分）1．一股股票价值100元，一年以后，股票价格将变为130元或者90元。假设相应的衍生产品的价值将为U=10元或D=0元。即期的一年期无风险利率为5%。则t=0时的衍生产品的价格_______________________________。（利用博弈论方法)2．股票现在的价值为50元，一年后，它的价值可能是55元或40元，一年期利率为4%，则执行价为45元的看跌期权的价格为___________________。（利用资产组合复制方法）3．对冲就是卖出________________，同时买进_______________。4．Black-Scholes公式_________________________________________________。5．我们准备卖出1000份某公司的股票期权，这里.1,30.0,05.0,40,500TrXs因此为了对我们卖出的1000份股票期权进行对冲，我们必须购买___________股此公司的股票。（参考8643.0)100.1(,8554.0)060.1(NN）得分二、计算题1．（15分）假设股票价格模型参数是：.120,8.0,7.10Sdu一个欧式看涨期权到期时间,3t执行价格,115X利率06.0r。请用连锁法则方法求出在0t时刻期权的价格。2．（15分）假设股票价格模型参数是：85.0.100,9.0,1.10pSdu一个美式看跌期权到期时间,3t执行价格,105X利率05.0r。请用连锁法则方法求出在0t时刻期权的价格。3.（10分）利用如下图的股价二叉树，并设置向下敲出的障碍为跌破65元，50X元，.06.0r求0t时刻看涨期权的价格。4.（15分）若股票指数点位是702，其波动率估计值,4.0指数期货合约将在3个月后到期，并在到期时用美元按期货价格结算。期货合约的价格是715美元。若执行价是740美元，短期利率为7%，问这一期权的理论价格应是多少？（参考,5279.0)071922.0(,4721.0)071922.0(NN3936.0)271922.0(N，6064.0)271922.0(N）5.（15分）根据已知条件1,05.0,1414.0,40,43TrXS年，求出期权的价格C（由Black-Scholes公式），，和。3周后，若股票价格44S，则根据看涨期权的微分方程136.787.55635.84109.487.57044.856702)(21dSdSdtdC求出期权的价格新C。（参考175.0)9358.0(,825.0)9358.0(NN212.0)7944.0(,788.0)7944.0(NN）三、证明题(10分)设),(tSG是下面方程的解：0212222SGrSSGStG。该方程不是Black-Scholes方程，因为它没有最后一项，.rG证明：),(),(tSGetSVrt满足Black-Scholes方程。一、填空（每空4分，共20分）1．3.5973元2．0.96元3．一分期权、股股票4．)()(210dNXedNSVrT5．855二、计算题（共70分）1．（15分）股票价格的二叉树图29.0dudeqr，])1([bqqaeVr（连锁法则）------------------------------------7分期权价格的二叉树图2．（15分）474.56162.4415.560238.22101.754.774.2517．839.67---------------------------------15分589.56277.44130.5661.44364.8204163.276.896120----------------------------------5分股票价格的二叉树图7564.0dudeqr，])1([bqqaeVr（连锁法则）------------------------------------7分期权价格的二叉树图3.（10分）25.1705.87u，8.07056d58.0dudeqr，])1([bqqaeVr（连锁法则）------------------------------------4分期权价格的二叉树图4.（15分）根据,715F25.0T，4.0，740X，07.0r有,9662.0XF2.0T------------------------2分071922.0)2()ln(21rXFd，271922.012dd-----------------------6分得,4721.0)(1dN3936.0)(2dN-------------------------10分48.45))()((21dXNdFNeGr美元-------------------------15分133.1108.989.172.9121110998190100----------------------------------5分86.737.50062.242.120.50023.0---------------------------------10分0010.927.100.592.5319102.74---------------------------------15分5.（15分）根据已知条件得,9358.01d7944.02d。-------------------------2分依据Black-Scholes公式49.5C。------------------------4分,825.0)(1dN,042.022121deTs.2819.221)(222SdXNrerT------------------------10分3周后，若股票价格44S，这里,523dt1dS,.21.6)(212dSdSdtCColdnew-------------------------15分三、证明题(10分)把),(),(tsVetsGrt代入到已知方程得sVrsesVestVetsVrertrtrtrt222221),(0)21(2222rVsVrssVstVert0212222rVsVrssVstV故V满足Black-Scholes方程。