金融数学引论北大版第4章答案

第四章习题答案1现有1000元贷款计划在5年内按季度偿还。已知季换算名利率6%，计算第2年底的未结贷款余额。解：设每个季度还款额是R，有Ra(4)5p6%￢=1000解得R，代入B2的表达式B2=Ra(4)3p6%￢=635.32元2设有10000元贷款，每年底还款2000元，已知年利率12%，计算借款人的还款总额等于原贷款额时的未结贷款余额。解：n=100002000=5B5=10000×(1+i)n−2000snp12%￢=4917.72元3某贷款在每季度末偿还1500元，季换算名利率10%，如果已知第一年底的未结贷款余额为12000元，计算最初的贷款额。解：以季度为时间单位，i=2.5%。B0=B1・v+1500a4pi￢=16514.4元4某贷款将在15年内分期偿还。前5年每年底还4000元，第二个5年每年底还3000元，最后5年每年底还2000元。计算第二次3000元还款后的未结贷款余额的表达式。解：对现金流重新划分，有B7=2000a￢8p+1000a￢3p北京大学数学科学学院金融数学系第1页版权所有，翻版必究5某贷款将以半年一次的年金方式在3年半内偿还，半年名利率8%。如果已知第4次还款后的未结贷款余额为5000元，计算原始贷款金额。解：设原始贷款额为L，每次还款为R，以半年为时间单位，有5000=Ra3p4%￢L=Ra7p4%￢整理得：L=5000・a￢7pa￢3p=10814.16元6现有20000元贷款将在12年内每年底分期偿还。若(1+i)4=2，计算第4次还款后的未结贷款余额。解：设第4次还款后的未结贷款余额为L，每次还款为R，有20000=R・a12pi￢L=R・a8pi￢把(1+i)4=2代入整理得：L=5000・1−(1+i)−81−(1+i)−12=17142.86元720000元抵押贷款将在20年内每年分期偿还，在第5次还款后，因资金短缺，随后的两年内未进行正常还贷。若借款人从第8年底重新开始还贷，并在20年内还清。计算调整后的每次还款额。解：设正常每次还款为R，调整后每次还款X，以当前时间和第5年底为比较日，有20000=Ra2￢0pXa1￢3p・v2=Ra1￢5p整理得：X=20000・a15p￢a2￢0p・(1+i)2a1￢3p8某贷款L原计划在25年内分年度等额还清。但实际上从第6次到第10次的还款中每次多付K元，结果提前5年还清贷款。试证明：K=a2￢0p−a1￢5pa2￢5pa￢5pL证：以第20年年底为比较日，设每次还款为R，有L=Ra2￢5pKs￢5p(1+i)10=Ra￢5p整理即得。9设Bt表示未结贷款余额，证明：(1)(Bt−Bt+1)(Bt+2−Bt+3)=(Bt+1−Bt+2)2;(2)Bt+Bt+3Bt+1+Bt+2证：(1)(Bt−Bt+1)(Bt+2−Bt+3)=(R+Bt+11+i−Bt+1)・(Bt+2−((1+i)Bt+2−R))=R−iBt+11+i・(R−iBt+2)=(R−iBt+1)・R−i((1+i)Bt+1−R)1+i=(R−iBt+1)2=(Bt+1−Bt+2)2(2)Bt−Bt+1=R−iBtR−iBt+2=Bt+2−Bt+3)Bt+Bt+3Bt+1+Bt+2默认每次还款额是相同的！10某贷款按季度分期偿还。每次1000元，还期5年，季换算名利率12%。计算第6次还款中的本金量。解：P6=B5−B6=1000a20−5p3%￢−1000a20−6p3%￢=1000×1.03−15=641.86元11n年期贷款，每年还款1元。试导出支付利息的总现值(去掉：之和)。解：设第t年支付的利息为It，有It=iBn+1−t=ian+1−￢tp=1−vn+1−t支付利息的总现值为：I=Σnt=1Itvt=Σnt=1(1−vn+1−t)vt=a￢np−nvn+112设10000元贷款20年还清，年利率10%，证明第11次中的利息为10001+v10元。此处有改动10000改成1000证：设每期还款额为R，由上题的结论有I11=R(1−v10)=10000a2￢0p(1−v10)=10000・i1+v10=10001+v1013设有20次分期还贷，年利率9%。问：第几次还款中的本金量与利息量差额最小。解：不妨设每次还款额为1。Pt−It=vnt+1−(1−vn−t+1)=2vn−t+1−1由2vn−t+1−1=0⇒t≈12.96验证t=12,13的情形易得第13次本金量与利息量差额最小。14现有5年期贷款，分季度偿还。已知第3次还款中的本金为100元，季换算的名利率10%。计算最后5次还款中的本金量之和。解：以一季度为时间单位，设每次还款额为R，由题意得Rv20−3+1=100⇒R=100v18于是最后5次本金总额为R(v1+・・・+v5)=724.59元15现准备用20年时间分期偿还一笔贷款，且已知前10年的年利率为i，后10年的年利率为j。计算：(1)第5次偿还中的利息量；(2)第15次偿还中的本金量。解：设初始贷款量为1，每年还款额为R，有：1=Ra10pi￢+Ra10pj￢(1+i)−10)R=1a10pi￢+(1+i)−10a10pj￢(1)I5=iB4=iR(a6pi￢+(1+i)−6a10pj￢)(2)P15=B14−B15=Ra6pj￢−Ra5pj￢=R(1+j)−616原始本金为A的抵押贷款计划在尽可能长的时间内每年偿还K，且最后一次将不足部分一次还清。计算：(1)第t次偿还的本金量；(2)摊还表中的本金部分是否为等比数列？解：设总还款次数为n，最后一次还款中不足部分设为B。(1)利用追溯法可得Bt=A(1+i)t−Ks￢tp,tn0,t=n故Pt=(K−iA)(1+i)t−1,tn(k−iA)(1+i)n−1+B,t=n(2)显然前n−1次本金呈等比数列，最后一次与前面没有等比关系。17现有20年的抵押贷款分年度偿还，每次1元。如果在第7次正常还款的同时，额外偿还原摊还表中第8次的本金，而且今后的还款仍然正常进行。（正常的意思是依然按照摊还表进行，改变期限，每次还款的金额不变）。证明：还贷期间节约的利息为1−v13。证：在第7次额外多还以后，第n次还款刚好对应原摊还表中第n+1次的还款。所以节约的利息为原摊还表中第8次还款中的的利息量，为1−v13。18总量为L的贷款分10年偿还，已知v5=23。计算：(1)前5次偿还中的本金之和；(2)如果最后5次还款因故取消，计算第10年底的未结贷款余额。解：(1)由题意得前5次偿还本金之和为R(v10+・・・+v6)=Rv61−v51−v=La1￢0pv1−vv5(1−v5)=L1−v10v5(1−v5)=0.4L(2)利用追溯法B10=L(1+i)10−Rs￢5p(1+i)5=Lv−10−Lv−10−v−51−v10=0.9L19现有35年贷款按年度偿还。已知第8次还款中的利息为135元，第22次还款中的利息为108元，计算第29次还款中的利息量。解：由I8=R(1−v28)I22=R(1−v14)⇒R=144v7=12于是I29=R(1−v7)=144×12=72元20某贷款分n次等额偿还，实利率为i，已知第K次还款前的未结贷款余额首次低于原始贷款额的一半。计算K。解：由题意得L=Ra￢npBk−2=Ran−k+￢2pL2Bk−1=Ran−k+￢1pL2⇒2vn−k+2−vn612vn−k+1−vn1故K=[n+1−ln(vn+1)−ln2lnv]+1其中[x]表示取整函数。21设有年利率2.5%的15000元贷款，每年偿还1000元。计算第几次还款中本金部分最接近利息部分的4倍解：设第k次还款本金部分最接近利息部分的4倍。利用追溯法Bk−1=L(1+i)k−1−Rsk−￢1p⇒Ik=iBk−1=iL(1+i)k−1−R[(1+i)k−1−1]Pk=R−Ik=R(1+i)k−1−iL(1+i)k−1再由Pk=4Ik得k≈11。22某贷款在每年的2月1日等额还贷。已知1989年2月1日的还款中利息为103.00元，1990年2月1日的还款中利息为98.00元，年利率8%。计算：(1)1990年还款中的本金部份；(2)最后一次不足额还款的日期和金额。解：(1)设In,Pn为别为n年的利息部分和本金部分，I1990=I1989−iP1989⇒P1989=62.5又I1989+P1989=I1990+P1990⇒P1990=67.5(2)利用递推公式容易求得2000年2月1日还款后未结贷款余额为101.43元，已经小于165.5元。同时易得B1989=1225。设最后一次还款在2000年2月1日后经过时间t收回。于是t满足1225=165.51−v11+ti⇒t=0.653故最后一次还款时间为2000年9月24日，金额为165.5×1.08t−10.08=106.67元。建议把最后不足部分的偿还方法说清楚，我们用的是：不足部分在下一年的等价时间偿还的方法。与原答案有出入23某贷款通过2n次偿还。在第n次偿还后，借款人发现其负债为原始贷款额的3/4，计算下一次还款中利息部份的比例。解：由题意得34L=Ranpi￢L=Ra2npi￢⇒vn=13而In+1=R(1−vn)，故利息部分所占的比例是23。24某银行提供月利率1%的抵押贷款，如果借款人提前将贷款余额一次付清，只需对当时余额多付出K%。如果某人在第5年底找到另一家银行提供月利率0.75%的10年贷款，对这个借款人来说K的最大可接受值为多少？解：K最大可接受，即这个借款人在两家银行每月的还款额相同。a120p0.75%￢=(1+K%)a120p1%￢⇒K=13.258%25现有10000元贷款利率10%。已知借款人以8%累积偿债基金，第10年底的偿债基金余额为5000元，第11年的还款金额为1500元。计算：(1)1500元中的利息量；(2)1500元中的偿债基金存款；(3)1500元中偿还当年利息的部分；(4)1500元中的本金量；(5)第11年底的偿债基金余额。解：(1)I11=10000×10%=1000元；(2)偿债基金存款额为1500−1000=500元；(3)也即是计算净利息:1000−5000×8%=600元；(4)本金量1500−600=900元；(5)11年底的偿债基金余额5000×(1+8%)+500=5900元。26证明：anpi&j￢=snpj￢1+isnpj￢。证：利用L=Ranpi&j￢L=(R−iL)snpj￢消去R可得(Lanpi&j￢−iL)snpj￢=L再适当变形便可得结论。27现有利率为9%的10000元贷款，每年底还利息，同时允许借款人每年初以利率7%向偿债基金存款K。如果在第10年底偿债基金的余额恰足以偿还贷款。计算K。解：由题意得K¨s10p7%￢=104⇒K=676.4328现有10年期贷款年利率5%，每年底还贷1000元。贷款的一半按摊还方式进行，另一半按额外提供4%年利率的偿债基金方式还款。计算贷款额。解：设贷款额为X，有X/2=R1a10p5%￢X/2=R2anp5%&4%￢1000=R1+R2整理得到X2(1a10p5%￢+1anp5%&4%￢)=1000X=7610.48元29为期10年的12000元贷款，每半年还款1000元。已知前5年以i(2)=12%计息，后5年以i(2)=10%计息。每次还款除利息外存入利率i(2)=8%的偿债基金。计算第10年底偿债基金与贷款之间的差额。解：前5年每半年放入偿债基金1000−12000×6%=280后5年每半年放入偿债基金1000−12000×5%=400故第10年底偿债基金余额为280s10p4%￢×(1+4%)10+400s10p4%￢=9778.6于是差额为2221.4元。30为期10年的3000元贷款，以i(2)=8%计息。如果借款人将贷款的1/3通过存入利率i(2)=5%的偿债基金偿还，剩余的2/3通过存入利率i(2)=7%的偿债基金偿还。计算每年的还款总额。解：设对于1/3部分贷款每年还款为R1，剩余部分贷款