高数导数和积分大全

一、基本初等函数导数公式2()0(sin)cos(tan)sec(sec)secanCxxxxxxtx12()(cos)sin(cot)csc(csc)cscxxxxxxxxcotx第一节求导法则(),(),()dyfxfxfxydx已知函数y=求的导数记为或、2211111x)x(arctanx)x(arcsinalnx)x(logalna)a(axx2211111x)xcotarc(x)x(arccosx)x(lne)e(xx二、函数的和、差、积、商的求导法则定理1.的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点可导,且)0)((xv])x(v)x(u)[(2)x(v)x(u)x(v)x(u()()uuxvvxx函数及都在点具有导数x)x(v)x(u及例：cos4lnsin,7yxxxy设求()cos(cos)4(ln)0xxxxxcos4sin2xxxxx:(cos)(4ln)(sin)7yxxx解三、复合函数的求导法则且其导数为可导在点则复合函数可导在点而可导在点如果函数,x(x)]f[y,(x)uf(u)y,x(x)u定理即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)))x()u(f)]x([f(dxdududydxdy或yx2y，求函数sin复合而成与函数可看作由函数xuusiny2ududycos2dxdux22u2dxdududydxdycoscos例的导数求函数22xay复合而成与数解：此函数可看作由函22xayuyu21dudyx2dxdu22xaxu21x2dxdy例2复合函数求导法则可推广到多个中间变量的情形例如,xydd)()()(xvufyuvxuyddvdudxvdd关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.理论推广例3设求解:复合而成与、函数可以看作由函数xevvuuycoslnu1dudyvdvdusinxedxdvxxxxeee1evu1dxdy)(sincos)sin(练习：求下列函数的导数3122sin3lntan24xxxyeyxxyyxe、、、、24221sin63731853xxxyxyeyxxyxxx5、、、、第二节定积分一、定积分的定义baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间],[ba定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即baxxfd)(battfd)(bauufd)(性质1常数因子可提到积分号外性质2函数代数和的积分等于它们积分的代数和。()()bbaakfxdxkfxdx[()()]()()bbbaaafxgxdxfxdxgxdx二、定积分的简单性质性质3若在区间[a,b]上f(x)≡k，则性质4定积分的区间可加性若c是[a,b]内的任一点，则()()bbbaaafxdxkdxkdxkba()()()bcbaacfxdxfxdxfxdx()1bbbaaafxdxdxdxbaabcabc当a,b,c的相对位置任意时,例如,cba则有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(则积分上限函数xattfxd)()(定理1.若三、牛顿–莱布尼兹公式定理1证明了连续函数的原函数是存在的.同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.'()()xfx)()(d)(aFbFxxfba(牛顿-莱布尼兹公式)记作定理2.函数,则例1、计算解:xxxarctan1d31213)1arctan(3arctan3127)4(例2、设求,1,211,1)(2xxxxxf20().fxdx解211020)()()(dxxfdxxfdxxf2121021)1(dxxdxx386)1(21213102xx20()fxdx计算例3其中2,01()1,12xxfxxx20()fxdx解:12201(1)xdxxdx21320111|()|23xxx236四、定积分的换元法和分部积分法定理（定积分的换元公式）设函数f(x)在区间[a,b]上连续；函数在上单值且有连续导数；当时，有，且则)(tx],[t],[)(batba)(,)(()[()]()bafxdxfttdt例1.计算解:令,sintax则,dcosdttax;0,0tx时当.,2tax时∴原式=2attad)2cos1(2202)2sin21(22tta0220ttdcos222xayxoya且例2.计算解:令,12xt则,dd,212ttxtx,0时当x,4时x.3t∴原式=ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt13;1t且例3.证:(1)若aaaxxfxxf0d)(2d)(则xxfaad)((2)若0d)(aaxxf则xxfad)(0xxfad)(0ttfad)(0xxfad)(0xxfxfad])()([0时)()(xfxf时)()(xfxf偶倍奇零tx令定理（定积分的分部积分公式）设函数u(x),v(x)在[a,b]上有连续导数，则()()()()()()bbbaaauxvxdxuxvxvxuxdx例4.计算解:原式=xxarcsin021210xxxd1212)1(d)1(212022121xx1221)1(2x02112231第三节广义积分（反常积分）引例.曲线和直线及x轴所围成的开口曲边梯形的面积21xyA1可记作12dxxA其含义可理解为bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1定义1.设,),[)(aCxf,ab取若存在,则称此极限为f(x)在区间的广义积分,记作类似地,若,],()(bCxf则定义),[a第三节广义积分（反常积分）,),()(Cxf若则定义xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim(c为任意取定的常数)引入记号;)(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似牛–莱公式的计算表达式:xxfad)()(xF)()(aFFxxfbd)()(xF)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF例1.计算广义积分解:]arctan[x)2(2xxxxarctanlimarctanlim例2.计算广义积分解:tpept原式0d1teptptpep2121p第五节二重积分(,)dDfxy(,)dDfxyxdy其中D是积分区域定理设),(yxf在矩形区域],[],[dcbaD上可积，且对每个],,[dcy积分baxyxfd),(存在，则累次积分badcxyxfyd),(d也存在，且badcDxyxfyyxfd),(dd),(特别当),(yxf在矩形区域],[],[dcbaD连续时，有badcdcbaDxyxfyyyxfxyxfd),(dd),(dd),(例1计算Dyxd)(2其中]0,1[]1,0[D解012102d)(dd)(yyxxyxD1033100-13d)3)1(3(d3)(xxxxyx61}),()(|),({21bxaxyyxyyxD区域定理设),(yxf在X-区域D上连续，y1(x),y2(x)在[a,b]连续，则Dyxyxfdd),(yyxfxyxyd),()()(21baxd称为X–型区域)(1xyy)(2xyyxboyDa区域}),()(|),({21dycyxxyxyxDxyxfyxyxd),()()(21dcyd则称为Y–型区域.若D为Y–型区域.)(1yxx)(2yxxxdoyDc若积分域较复杂,可将它分成若干oxy1D2D3DX-型域或Y-型域,321DDDD则xy211xyo221dy例2、计算,dDyxI其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.解法1.将D看作X–型区域,则I21dxyyxd21dx2121321dxxx891221xyx解法2.将D看作Y–型区域,则Ixyxd21dyyyx222121321d2yyy891xy2例3、计算,dDyx其中D是抛物线所围成的闭区域.解xyxdDyxd21dy212221d2yyxyy2152d])2([21yyyyDxy22xy214oyx2y2y及直线这是Y-区域，画出积分区域的图形先对x后对y积分,解法2yyxd21dddDDDyxyxyx10dxxy22xy214oyxD也是X-型区域，1D2D1xxyyxd41dx2xx10d0x4122d2xxyxx显然解法1比解法2好！例4、计算,ddsinDyxxx其中D是直线所围成的闭区域.OxyDxxy解:画积分区域图形，因为Dyxxxddsin0dsinxx2xyxxx00dsind则若先对x积分，yDxxxyyxxxdsindddsin0xxsin的原函数不能用初等函数表示，因此改用另一种顺序的累次积分，于是有xyxxx00ddsin)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法•若积分区域为X-型则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf•若积分区域为Y-型则xy)(1yxxDdc)(2yxx)(1xyy)(2xyyxybaD习题212yDedxdy1、求其中D：01,01xyxy及Dxdxdy2、求其中D：,3,0,1yxyxyyxyDedxdy3、求其中D：2,0,1yxxy