2020新高考数学理二轮专题培优新方案主攻40个必考点课件函数与导数三十

主攻40个必考点(三十)函数的性质1．(2019·全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x0时，f(x)＝()A．e－x－1B．e－x＋1C．－e－x－1D．－e－x＋1解析：选D当x0时，－x0，∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.又∵f(x)为奇函数，∴当x0时，f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.2．(2019·全国卷Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则()A．flog314f2－32f2－23B．flog314f2－23f2－32C．f2－32f2－23flog314D．f2－23f2－32flog314解析：选C因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以flog314＝f(－log34)＝f(log34)．又因为log3412－232－320且函数f(x)在(0，＋∞)单调递减，所以f(2－32)f(2－23)flog314.故选C.3．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50B．0C．2D．50解析：选C法一：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数得f(0)＝0.又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.法二：由题意可设f(x)＝2sinπ2x，作出f(x)的部分图象如图所示．由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.4．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2,2]B．[－1,1]C．[0,4]D．[1,3]解析：选D∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.5．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，∴－xln(－x＋a＋x2)－xln(x＋a＋x2)＝0恒成立，∴xlna＝0恒成立，∴lna＝0，即a＝1.答案：16．(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，则a＝________.解析：设x0，则－x0.∵当x0时，f(x)＝－eax，∴f(－x)＝－e－ax.∵f(x)是奇函数，∴当x0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，∴f(ln2)＝e－aln2＝(eln2)－a＝2－a.又∵f(ln2)＝8，∴2－a＝8，∴a＝－3.答案：－3[把脉考情]考什么1.函数的单调性及应用2.函数的奇偶性、周期性及应用3.函数性质的综合应用考多深在选择题、填空题中进行考查，难度中低档，有时会在12题或16题的位置考查，难度较大，分值5分考多宽主要考查已知函数的单调性或奇偶性求参数的取值范围以及利用单调性比较大小，利用函数周期性求值，而函数的性质与导数相交汇问题，会在小题的压轴题中呈现，难度较大，考查逻辑推理、数学抽象、数学运算的核心素养．注意数形结合，分类讨论思想的应用函数单调性的判断及应用[典例1](1)若函数y＝log12(x2－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上是减函数，则a的取值范围为()A．(－∞，－4)∪[2，＋∞)B．(－4,4]C．[－4,4)D．[－4,4](2)已知函数f(x)为偶函数，当x0时，f(x)＝x－4－x，设a＝f(log30.2)，b＝f(3－0.2)，c＝f(－31.1)，则()A．cabB．abcC．cbaD．bac(3)设函数f(x)＝4，x≤0，－4－x＋5，x0，则满足不等式f(x2－6)f(x)的x的取值范围是()A．(－2,3)B．(－∞，－2)∪(6，＋∞)C．(－∞，－6)∪(6，＋∞)D．(－∞，－6)∪(3，＋∞)[解析](1)令t＝x2－ax＋3a，则y＝log12t，易知t＝x2－ax＋3a在－∞，a2上单调递减，在a2，＋∞上单调递增．∵y＝log12(x2－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上是减函数，∴t＝x2－ax＋3a在(2，＋∞)上是增函数，且在(2，＋∞)上t0，∴2≥a2，且4－2a＋3a≥0，∴a∈[－4,4]．故选D.(2)因为函数f(x)为偶函数，所以a＝f(log30.2)＝f(－log30.2)，c＝f(－31.1)＝f(31.1)．因为log319log30.2log313，所以－2log30.2－1，所以1－log30.22，所以31.13－log30.213－0.2.因为y＝x在(0，＋∞)上为增函数，y＝－4－x在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以f(31.1)f(－log30.2)f(3－0.2)，所以cab.(3)法一：直接法易知当x0时，函数f(x)＝－4－x＋5是单调递增函数，且f(x)4；当x≤0时，f(x)＝4.由f(x2－6)f(x)，得x0，x2－6x或x≤0，x2－60，解得x3或x－6，所以x的取值范围是(－∞，－6)∪(3，＋∞)．故选D.法二：验证排除法取x＝2，则f(22－6)＝f(－2)＝4，而f(2)＝－4－2＋54，所以x＝2不满足题意，排除A；取x＝3，则f(32－6)＝f(3)，所以x＝3不满足题意，排除B、C，故选D.[答案](1)D(2)A(3)D增分方略应用函数单调性解题的常见题型及解题策略比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决解不等式通常利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数[提醒](1)若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；(2)对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．函数的奇偶性、周期性与对称性[典例2](2019·唐山高三摸底考试)设函数f(x)＝x(ex＋e－x)，则f(x)()A．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数[解析]法一：定义法由条件可知，f(－x)＝(－x)(e－x＋ex)＝－x(ex＋e－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．f′(x)＝ex＋e－x＋x(ex－e－x)，当x0时，exe－x，所以x(ex－e－x)0，又ex＋e－x0，所以f′(x)0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．法二：特值法根据选项由f(－1)＝－f(1)，可知函数f(x)为奇函数．又f(1)f(2)，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故选A.[答案]A[典例3](2019·山东名校联盟)若函数f(x)＝x312x－1＋a为偶函数，则a的值为________．[一题多解](在发散思维中整合知识)法一：定义法因为函数f(x)＝x312x－1＋a为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x)312－x－1＋a＝x312x－1＋a，所以2a＝－12－x－1＋12x－1，所以2a＝1，解得a＝12.法二：特值法因为函数f(x)＝x312x－1＋a为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以(－1)3×12－1－1＋a＝13×121－1＋a，解得a＝12，经检验，当a＝12时，函数f(x)为偶函数．[答案]12[典例4](2019·绵阳三诊)奇函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，且f(3)＝2，则f(1)＝________.[一题多解](在发散思维中整合知识)法一：定义法因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，因为f(x)的图象关于点(1,0)对称，所以f(2＋x)＋f(－x)＝0，从而有f(2＋x)＝f(x)，所以2为f(x)的周期，所以f(1)＝f(3)＝2.法二：特值法因为f(x)的图象关于点(1,0)对称，所以f(3)＋f(－1)＝0，所以f(－1)＝－f(3)＝－2.因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，所以f(1)＝2.[答案]2增分方略1．已知函数奇偶性求参数的2种方法(1)利用f(－x)＝－f(x)(奇函数)或f(－x)＝f(x)(偶函数)在定义域内恒成立求解；(2)利用特殊值求解，奇函数一般利用f(0)＝0求解，偶函数一般利用f(－1)＝f(1)求解．用特殊值法求得参数后，一定要注意验证．2．记住常用结论(1)f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b；函数f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)．(2)一般地，定义在R上的函数如果满足f(2a－x)＋f(x)＝0，f(2b－x)＋f(x)＝0(a≠b)，那么f(x)的一个周期为T＝2|a－b|；若函数f(x)的图象同时关于点A(a，c)和点B(b，c)成中心对称(a≠b)，则f(x)的一个周期为T＝2|a－b|；若函数f(x)的图象既关于点A(a，c)成中心对称又关于直线x＝b成轴对称(a≠b)，则f(x)的一个周期为4|a－b|.函数性质的综合应用[典例5](1)(2019·广东七校联考)设定义在R上的函数f(x)，对任意的x∈R，都有f(1＋x)＝－f(1－x)，且f(2)＝0，当x1时，f′(x)＋f(x)0，则不等式f(x)·ln|x－1|0的解集为()A．(－∞，0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对于x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，且f(3)＝－1，当x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2时，都有fx1－fx2x1－x20.给出下列命题：①f(221)＝－1；②函数y＝f(x)图象的一条对称轴方程为x＝－4；③函数y＝f(x)在[－6，－4]上为减函数；④方程f(x)＝0在[－6,6]上有4个根．其中正确的命题个数为________．[解析](1)当x1时，构造函数g(x)＝ex·f(x)，则g′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)]0，所以函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因为f(2)＝0，所以g(2)＝0，所以当1x2