考研数学强化班高等数学讲义-汤家凤

第一讲极限与连续主要内容概括（略）重点题型讲解一、极限问题类型一：连加或连乘的求极限问题1．求下列极限：（1）)12)(12(1531311limnnn；（2）11lim332kknkn；（3）nknnkk1])1(1[lim；2．求下列极限：（1）nnnnn22241241141lim；3．求下列极限：（1）22222212111limnnnnn；（2）nnnn!lim；（3）ninnin1211lim。类型二：利用重要极限求极限的问题1．求下列极限：（1）)0(2cos2cos2coslim2xxxxnn；（2）nnnnnn1sin)1(lim1；2．求下列极限：（1）xxxcos1120sin1lim；（3）)21ln(103sin1tan1limxxxxx；（4）21coslimxxx；类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题1．求下列极限：（1）)cos1(sin1tan1lim0xxxxx；（2）)cos1(limtan0xxeexxx；（3）]1)3cos2[(1lim30xxxx；（4）)tan11(lim220xxx；（5）203)3(limxxxxx；（6）设Aaxxfxx1)sin)(1ln(lim0，求20)(limxxfx。2．求下列极限：xxexxxsincoslim3202类型四：极限存在性问题：1．设01,111nnxxx，证明数列}{nx收敛，并求nnxlim。2．设)(xf在),0[上单调减少、非负、连续，),2,1()()(11ndxxfkfannkn，证明：nnalim存在。类型五：夹逼定理求极限问题：1．求101sinlimdxxxnn；2．),,()(lim1非负cbacbannnnn；3．)0(21lim2xxxnnnn。类型六：含参数的极限问题：1．设0)3sin(lim230baxxxx，求ba,；2．设3)11lim2baxxxx，求ba,；类型七：中值定理法求极限：1、)1arctan(arctanlim2nnnn；2、)(lim1211212xxxeex。类型八：变积分限函数求极限：1、)11)(tan(2coslim200xxxxxtdtextx。2、设)(xf连续，且1)1(f，则1)(lim3111xdtxtfxx。二、连续与间断的判断1．设01,110,00,)1ln()(xxxxxxxxxf，讨论函数)(xf在0x处的连续性。2．讨论0,10,)12()12()(11xxxfxx在0x处的连续性。三、连续性命题的证明1．设),[)(aCxf且)(limxfx存在，证明)(xf在),[a上有界。2．设)(xf在],[ba上连续，任取0,0qp，证明：存在),(ba，使得)())()()(fqpbqfapf。第二讲微分学第一部分一元函数微分学内容复习（略）重点题型讲解（一）与导数定义相关的问题1．设)(0xf存在，求)0()()(lim000hhxfhxfh。2．设)(xf在1x处连续，且21)(lim21xxfx，求)1(f。3．设)(xf在),(上有定义，对任意的yx,有)()()(yfxfyxf，且1)0(f，求)(xf。4．设)(xf二阶连续可导，且1)(lim0xxfx，ef)0(，则______lim2)(0xeexxfx。5．设)(xf在),(上有定义，且对任意的x有)(2)1(xfxf，又当]1,0[x时，有)1()(2xxxf，讨论)(xf在0x处的可导性。（二）各类求导数的问题1．设xxexxey111sin，求y；2．设xxey11arctan，求y；3．)100()2)(1(xxxxy，求)101(),0(yy；4．设)(xfy由23)1ln(ttyttx确定，求22dxyd；5．设xyyx，求dxdy；6．设yxyexy)tan(，求0xdxdy；7．设)(xyy由5sin3tan22yttytext确定，求dxdy；8．设0,)1(2arctan90,2sin)(3xxbxxaexxfx在0x处可导，求ba,；9．求下列函数的导数：（1）设dttxyx022cos，求dxdy；（2）设xdtxttfy022)(，求dxdy；10．设)(xf连续，10)()(dtxtfx，且Axxfx)(lim0，求)(x，并讨论)(x在0x处的连续性。11．设0,0,cos)()(xaxxxxgxf，其中)(xg二阶可导且1)0(g。（1）当a为何值时，)(xf在0x处连续；（2）求)(xf；（3）研究)(xf在0x处的连续性。解答：（1）]cos)0()0()([limcos)(lim)(lim000xxgxgxgxxxgxfxxx)0(]cos1)0()([lim0gxxxgxgx，于是当)0(ga时，)(xf在0x处连续。（2）当0x时，xgxxxgxfxfxx)0(cos)(lim)0()(lim00)]0(1[212sin)0()(lim)0(cos)(lim020gxxgxgxxgxxgxx，即)]0(1[21)0(gf；当0x时，2cos)(]sin)([)(xxxgxxgxxf，于是0,cos)(]sin)([0),0(1[21)(2xxxxgxxgxxgxf。（3）因为200cos)(]sin)([lim)(limxxxgxxgxxfxx)0()]0(1[21]cos)(sin)([lim20fgxxxgxxxgx，所以)(xf在0x处连续。12．设)(xf在]1,1[上可导，)(xf在0x处二阶可导，且4)0(,0)0(ff，求30)]1[ln()(limxxfxfx。13．设)1()1(21lim)(xnxnnebaxexxf，求)(xf，并讨论)(xf的连续性和可导性。（三）高阶导数问题1．设xeyxsin，求)(ny；2．设)23ln(2xxy，求)(ny。3．设)1ln()(2xxxf，求)0()49(f。第二部分一元函数微分学的应用内容复习（略）附：中值定理部分的推广1．设)(xf在0xx的邻域内n阶连续可导，则有))(()(!)())(()()(000)(000nnnxxoxxnxfxxxfxfxf。2．（导数零点定理）设],[)(baCxf，在),(ba内可导，且0)()(bfaf，则存在),(ba，使得0)(f。3．（导数介值定理）设设],[)(baCxf，在),(ba内可导，且)()(bfaf，不妨设)()(bfaf，则对任意的)](),([bfaf，存在),(ba，使得)(f。4．设],[)(baCxf，且)0(0)(xf，则有))(()()()(000xxxfxfxf，等号成立当且仅当0xx。重点题型讲解（一）中值定理等式的证明类型一：目标表达式中仅含不含端点字母，且导数之间相差一阶1．设)(xf在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1(,1)0(ff，证明：存在)1,0(，使得0)()(2ff。2．设)(xf在]1,0[上可微，且3101)(3)1(dxxfefx，证明：存在)1,0(，使得0)()(ff。3．设)(xf在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)1(,1)21(,0)0(fff。证明：（1）存在)1,21(，使得)(f；（2）对任意的),(k，存在),0(，使得1])([)(fkf。类型二：目标表达式中含两个中值1．设)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，且0)(xf，证明：存在),(,ba，使得eabeeffab)()(。2．设)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，1)()(bfaf，证明：存在),(,ba，使得eff)()(。3．设]1,0[)(Cxf，在)1,0(内可导，且1)1(,0)0(ff，证明：对任意的正数ba,，存在)1,0(,，使得bafbfa)()(。4．设],[)(baCxf，在),(ba内可导（0a），证明：存在),(,,321ba，使233222213)()(2)()()(fbabafbaf。类型三：目标表达式中含有端点和中值1．设],[)(),(baxgxf，在),(ba内可导，且0)(xg，证明：存在),(ba，使得)()()()()()(gfbggfaf。类型四：目标表达式为0)()(nf1．设函数)(xf在区间]3,0[上连续，在)3,0(内可导，且3)2()1()0(fff，1)3(f，证明：存在)3,0(，使得0)(f。3．设)(xf在]1,0[上三阶可导，且)()(,0)1()0(3xfxxHff，证明：存在)1,0(，使得0)(H。4．设],[)(baCxf，且0)()(bfaf，证明：存在),(ba，使得0)(f。类型五：目标表达式为0)()(Cfn（其中0C为常数）1．设],[)(baCxf，在),(ba内二阶连续可导，证明：存在),(ba，使得)(4)()(22)(2fabafbafbf。2．设)(xf在]1,1[上三阶连续可导，且0)0(,1)1(,0)1(fff，证明：存在)1,1(，使得3)(f。3．设naaa21为n个不同的实数，函数)(xf在],[1naa上有n阶导数，并满足0)()()(21nafafaf，则对每个],[1naac，存在),(1naa满足等式)(!)())(()()(21nnfnacacaccf。（二）中值定理不等式的证明1．],[)(baCxf，在),(ba内可导，)()(bfaf，且)(xf不是常数，证明：存在),(ba，使得0)(f。2．设],[)(baCxf，在),(ba内可导，且曲线)(xfy非直线，证明：存在),(ba，使得abafbff)()(|)(|。3．],[)(baCxf，在),(ba内二阶可导，且0)(,0)()(afbfaf，证明：存在),(ba，使得0)(f。4．设)(xf在],[ba上满足2|)(xf，且)(xf在),(ba内取到最小值，证明：)(2|)(||)(|abbfaf。5．)(xf二阶可导，且1)(min,0)1()0(10xfffx，证明：8)(max10xfx。6．设)(xf在],[ba上二阶可导，0)(xf，对任意的],[baxi（ni1）及0