轨迹方程的五种求法例题

动点轨迹方程的求法一、直接法按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时．例1已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M到圆C的切线长与的比等于常数（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．【解析】：设M（x，y），直线MN切圆C于N，则有，即，．整理得，这就是动点M的轨迹方程．若，方程化为，它表示过点和x轴垂直的一条直线；若λ≠1，方程化为，它表示以为圆心，为半径的圆．二、代入法若动点M（x，y）依赖已知曲线上的动点N而运动，则可将转化后的动点N的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况．例2已知抛物线，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．【解析】：设，由题设，P分线段AB的比，∴解得.又点B在抛物线上，其坐标适合抛物线方程，∴整理得点P的轨迹方程为其轨迹为抛物线．三、定义法若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现．例3若动圆与圆外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是122yxMQ0MQMNMQONMO222222)2(1yxyx0)41(4)1()1(222222xyx145x)0,45(2222222)1(3112yx）－（)0,12(221312212xy),(),,(11yxByxP2PBAP.2121,212311yyxx2123,232311yyxx12xy.1)2323()2123(2xy),31(32)31(2xy4)2(22yx（A）（B）（C）（D）【解析】：如图，设动圆圆心为M，由题意，动点M到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x=4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x=4为准线的抛物线，并且p=6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是．选（B）．例4一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为（A）抛物线（B）圆（C）双曲线的一支（D）椭圆【解析】：如图，设动圆圆心为M，半径为r，则有动点M到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O、C为焦点的双曲线的左支，选（C）．四、参数法若动点P（x，y）的坐标x与y之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出x、y关于另一变量的参数方程，再化为普通方程．例5设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．（1）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．【解析】：（1）设所求椭圆方程为由题意得解得所以椭圆方程为．(2)设点解方程组得由和得012122xy012122xy082xy082xy)1(122xy122yx012822xyx.1,2,1MOMCrMCrMO12ttOQOP).0(12222＞＞babxay,,122tbaba.11.122222tbtta222222)1()1(tytxtt),,(),,(11yxQyxP,,)1()1(1122122122txytytxtt.)1(2,)1(212121ttytx12ttOQOP1xxOQOP,2,2,2222tytxtytx或其中t＞1．消去t，得点P轨迹方程为和．其轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线在侧的部分．五、交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程．例6已知两点以及一条直线：y=x，设长为的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程．【解析】：PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可设，则PA：QB：消去t，得当t=－2，或t=－1时，PA与QB的交点坐标也满足上式，所以点M的轨迹方程是以上是求动点轨迹方程的主要方法，也是常用方法，如果动点的运动和角度有明显的关系，还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程．但无论用何方法，都要注意所求轨迹方程中变量的取值范围．)22(222xyx)22(222xyxyx22222xyx22222x)2,0(),2,2(QP2)1,1(),,(ttBttA),2)(2(222txtty).1(112txtty.082222yxyx.0822222yxxyx