第6章-常微分方程与差分方程

1第五章常微分方程与差分方程2考试内容1.常微分方程的基本概念•常微分方程含有一元未知函数及其导数(或微分)的方程.•微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.0),,,,()(nyyyxF•线性微分方程方程中的未知函数及其个阶导数的次数都是一次,且无交叉乘积项..),,,,()1()(nnyyyxfy或一般地,n阶常微分方程的形式是,1)(sin)4(23xyxyy,)()()(xfyxqyxpy二阶非线性.二阶线性.3过定点的积分曲线;00),(yyyxfyxx一阶:二阶:0000,),,(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.•初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题.•初始条件用来确定任意常数的条件.•微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.通解解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同.特解不含任意常数的解.其图形称为积分曲线.注意,通解不一定是方程的全部解.42.变量可分离的微分方程•形式.dd)()(ygxfxy•解法,ddxxfygy)()(,ddxxfygy)()(分离变量,.CxFyG)()(两边积分,称为隐式通解,或通积分.5•形式3.齐次微分方程.dd)(xyfxy•解法,xyu作变量代换,,xuy即代入原式得,dxuxuxyddd,dd)(ufxuxu分离变量得xxuufudd)(,两边积分,将u代回,便得到原方程的通解.6dd.)0()(212111cccybxacbyaxfxy,,kYyhXx令(其中h和k是待定的常数)•可化为齐次的方程化为齐次方程.,)1(11时当bbaa,ybxau令,)2(11时当bbaa化为可分离变量方程.74.一阶线性微分方程•形式.dd)()(xQyxPxy•齐次方程的解法称为非齐次方程.称为齐次方程;,时当0)(xQ,时当0)(xQ0)(yxPxydd分离变量,两边积分得,,dCxxPyln)(ln故通解为.exxPCyd)(8•非齐次方程的解法)()(xQyxPxydd齐次方程通解非齐次方程特解xxPCd)(e用常数变易法:,)()()(xxPxuxyde则xxPud)(e)(xPxxPude)()(xQ故原方程的通解为xxQxxPxxPdeedd)()()(CxxQyxxPxxPd)()()(ddeey也即即作变换xxPuxPde)()(,edCxxQuxxPd)()(两边积分得公式法9•伯努利方程)1,0()()(ddnyxQyxPxyn,)()(dd1xQyxPxyynn令,1nyz,xyynxzndd)1(dd则.)()1()()1(ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,换回原变量即得伯努利方程的通解.除方程两边,得解法:(线性方程)105.线性微分方程解的性质及解的结构定理•n阶线性微分方程的形式)1()()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn(2)称为(1)相应的齐次方程.)2(0)()()(1)1(1)(yxPyxPyxPynnnn特别地,n阶齐次线性微分方程定理1:是n阶齐次方程(2)的n个解,则)(11为任意常数knnCyCyCy也为齐次方程(2)的解.齐次方程解的叠加原理11定理2:是n阶齐次方程(2)的n个线性无关解,则方程的通解为.)(11为任意常数knnCyCyCy5.线性微分方程解的性质及解的结构定理定理3:是n阶非齐次方程(1)的两个解,则12yy是相应的齐次线性(2)方程的解.12定理4:是对应齐次方程(2)的n个线性无关特解,给定n阶非齐次线性方程(1))()(xyxY是非齐次方程(1)的特解,则非齐次方程(1)的通解为齐次方程通解非齐次方程特解5.线性微分方程解的性质及解的结构定理136.二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程•二阶常系数齐次线性微分方程,20qrpr其特征方程为:特征根为:特征根的情况通解的表达式21rr21rrir2,1两互不相同的实根二重根两个共轭复根xrxrCCy2121eexrxCCy1)(21e)sincos(21xCxCyxe14•二阶常系数非齐次线性微分方程)(e)1(次多项式为其中nxPxPxfnxn)()()(对应齐次方程,0yqypy通解结构,yYy•简单的非齐次线性微分方程特解的求法.,;,;,是特征方程的重根2是特征方程的单特1不是特征方程的根0k设方程的特解形式为:xnkxQxye)(而为同次多项式与其中,)()(xPxQnn15xbxaxfxsincos)(e)2(•简单的非齐次线性微分方程特解的求法.是特征方程的单,不是特征方程的根;,根iik10设方程的特解形式为:xBxAxyxksincose而为待定系数与其中,BA167.差分与差分方程的概念•差分设函数)(xfy为定义在非负整数集上的函数,简记,xy并把差xxyy1称为函数xy的差分,也称一阶差分,记为,xy即xyxxyy1.二阶差分xxxxyyyy12)(.212xxxyyy三阶差分xxxxxyyyyy123333.n阶差分.)1(0nkkxnknkxnyCy,12)1(221xxxyyxx)(2x)(22x.2)12(]1)1(2[)12(xxx例17•差分方程含有自变量x,未知函数xy,以及未知函数的差分,,,2xxyy的函数方程称为差分方程.即形如0),,,,(2xnxxyyyxF).1(n含有自变量x,以及两个或两个以上未知函数1xy,的函数方程,称为差分方程.即形如0),,,,(1nxxxyyyxG).1(n差分方程中所出现的未知函数下标的最大值与最小值的差称为差分方程的阶.若一个函数代入差分方程后,方程两边恒等,则称此函数为该差分方程的解.188.差分方程的通解与特解9.一阶常系数线性差分方程若差分方程的解中含有相互独立的任意常数且个数恰好等于差分方程的阶数,则称该解为差分方程的通解.不包含任意常数的解,称为特解.形如),2,1,0()(1xxfayyxx称为一阶常系数线性差分方程.其中)(xf为已知函数,a是非零常数.),2,1,0(01xayyxx称为一阶常系数齐次线性差分方程.199.一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性非齐次差分方程的通解xy为:该差分方程的某一个特解xy与相应的齐次差分方程的通解xy之和,即xy=xy+xy.)(1xfayyxxxxAay,其中A为任意常数.,0a其特征方程为:特征根为:.的通解的求法)0()(1aqxPayyxnxx相应的齐次线性差分方程的通解为:特解形式为:,xnkxqxQxy)(而同次的多项式为与其中,)()(xPxQnn.是特征根不是特征根，qqk,1,02010.微分方程的简单应用21考试要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.3.会解二阶常系数齐次线性微分方程.4.了解线性微分方程解的性质及解的结构定理,会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程.2.掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法.5.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念.6.了解一阶常系数线性差分方程的求解方法.7.会用微分方程求解简单的经济应用问题.22典型例题分析例1微分方程nyxqyxpy)()(当1n时为().例2A.一阶线性齐次微分方程B.一阶线性非齐次微分方程C.伯努利方程D.非线性微分方程本题应选A.解二阶微分方程23xyy的特解形式是().CBxAxy2*A.)(*BAxxyB.)(2*CBxAxxyD.)(22*CBxAxxyC.特征根为0和1,解本题应选D.23解求微分方程0)4(2yxxxydd的通解.又0y也为方程的解,从而所求特解为.xCxy)4(4例3方程可以表示成,0)4(2xxy若,)ddxxxyy411(44ln||ln4ln||ln4xCxCxxy等式两边积分得,.,)0()4(4CxCxy其中即注意:在方程求解变形中,原方程与变形后的方程有可能不是同解变形,可能会遗漏一部分解,可以将这些解单独讨论补上.24解求微分方程11yxy的通解.用变量代换法,令xyu,原方程化为uxu1dd,解之得1221Cxu,换回变量,得通解为Cxxy2)(2.例425解求微分方程22yxxyxydd满足条件ee2)(y的特解.等式两边积分得Cxu||ln212,得原方程的通解为)||(ln222Cxxy.将ee2)(y代入,得1C,从而所求特解为)1||(ln222xxy.例5这是齐次方程,,uxy令,ddddxuxuxy则原方程化为,ddxyyxxy,dduuxuxu1,ddxxuu即,xyu代人26解求微分方程0d)ln(dlnxxyyxx满足条件1)e(y的特解.原方程改写为xyxxy1ln1,将1)(ey代入,得21C,所以所求特解为)ln1(ln21xxy.例6这是一阶线性微分方程,由公式法得方程的通解为]1[lnlnCxxyxxxxxxdeedd]ln[ln1Cxxxxd,]ln21[ln12Cxx27求一连续可导函数使其满足下列方程:则,txu令uufxxfxd)(sin)(0从而有xxfxfcos)()(0)0(f利用公式法可求出.e)sin(cos21)(xxxxf解例728例8求方程的通解.解,1yz令则方程变形为xaxzxzlndd其通解为将1yzCxxazxxxxdeedd11)ln(2)ln(2xaCx代入,得原方程通解:方程为伯努利方程,29解求微分方程04)(2xyyxy)0(y的通解.把y作为自变量,原方程改写为xxyyx4141dd,两边乘以x,化为线性方程2121dd22xyyx,这是伯努利方程,求得通解)de21(e2d2d2Cyxyyyy)(CyyyCy.例9303212211)(yCCyCyCB.3212211)1(yCCyCyCC.例10解3231,yyyy都是对应齐次方程的解,二者线性无关.本题应选D.设线性无关函数321,,yyy都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy的解,21,CC是任意常数,则该方程的通解为().31例11已知微分方程)()()(xfyxqyxpy,,,2321xxyyxyee求此方程满足初始条件3)0(,1)0(yy的特解.解1312yyyy与是对应齐次方程的解,且,ee常数xxyyyyxx21312因而线性无关,故原方程通解为.eexxCxCyxx)()(221代入初始条件,3)0(,1)0(yy,2,121CC得.22xxyee故所求特解为有三个解32解已知xxxy21ee,xxxyee2,xxxxyeee23是某二阶线性非齐次微分方程的由题设,xyye31是对应齐次方程的解,故xxxyee2