高中数学选修2-2课件：第1章-导数及其应用1.2.2(2)

数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．能利用导数的四则运算法则求解导函数．2．能利用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知f(x)＝x2，g(x)＝2x.[问题1]f(x)，g(x)的导数分别是什么？[提示1]f′(x)＝2x，g′(x)＝－2x2.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题2]试求F(x)＝f(x)＋g(x)的导数．[提示2]ΔyΔx＝x＋Δx2＋2x＋Δx－x2＋2xΔx＝2x＋Δx＋－2xx＋Δx，∴limΔx→02x＋Δx＋－2xx＋Δx＝2x－2x2.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题3]F(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？[提示3]F(x)的导数等于f(x)，g(x)导数和．[问题4]试说明y＝cos3x－π4如何复合的．[提示4]令u＝g(x)＝3x－π4，y＝f(u)＝cosu，∴y＝f(u)＝f(g(x))＝cos3x－π4.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升设两个函数分别为f(x)和g(x)导数的运算法则两个函数的和的导数[f(x)＋g(x)]′＝________________两个函数的差的导数[f(x)－g(x)]′＝________________两个函数的积的导数[f(x)·g(x)]′＝__________________两个函数的商的导数＝_____________________________f′(x)＋g′(x)f′(x)－g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)fxgx′f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．应用导数的运算法则应注意的问题(1)对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数定义进行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可．(2)对于和差的导数运算法则，此法则可推广到任意有限个可导函数的和或差，即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(3)对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数的积与商的导数运算中，不能出现[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及fxgx′＝f′xg′x这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝__________.即y对x的导数等于________________________________．复合函数的导数yu′·ux′y对u的导数与u对x的导数的乘积数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．复合函数求导应注意的问题(1)简单复合函数均是由基本初等函数复合而成的，对于常用的基本函数要熟悉．(2)求复合函数的导数，关键要分清函数的复合关系，特别要注意中间变量．(3)要注意复合函数的求导法则与四则运算求导法则的综合运用．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．已知函数f(x)＝cosx＋lnx，则f′(1)的值为()A．1－sin1B．1＋sin1C．sin1－1D．－sin1答案：A解析：因为f′(x)＝－sinx＋1x，所以f′(1)＝－sin1＋11＝1－sin1.故选A.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．函数y＝sinx·cosx的导数是()A．y′＝cos2x＋sin2xB．y′＝cos2x－sin2xC．y′＝2cosx·sinxD．y′＝cosx·sinx解析：y′＝(sinx·cosx)′＝cosx·cosx＋sinx·(－sinx)＝cos2x－sin2x.答案：B数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.解析：f(x)＝4x2＋4ax＋a2，∵f′(x)＝8x＋4a，∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1.答案：1数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．求下列函数的导数：(1)y＝xx2＋1x＋1x3；(2)y＝1＋cosxx2；(3)y＝(4x－x)(ex＋1)．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)∵y＝xx2＋1x＋1x3＝x3＋1＋1x2，∴y′＝3x2－2x3.(2)y′＝1＋cosx′·x2－1＋cosxx2′x4＝－xsinx－2cosx－2x3.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(3)方法一：∵y＝(4x－x)(ex＋1)＝4xex＋4x－xex－x，∴y′＝(4xex＋4x－xex－x)′＝(4x)′ex＋4x(ex)′＋(4x)′－[x′ex＋x(ex)′]－x′＝ex4xln4＋4xex＋4xln4－ex－xex－1＝ex(4xln4＋4x－1－x)＋4xln4－1.方法二：y′＝(4x－x)′(ex＋1)＋(4x－x)(ex＋1)′＝(4xln4－1)·(ex＋1)＋(4x－x)ex＝ex(4xln4＋4x－1－x)＋4xln4－1.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升导数运算法则的应用根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．(1)y＝x2－2x－4lnx；(2)y＝x·tanx；(3)y＝xex；(4)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(5)y＝x＋sinx2cosx2.[思路点拨]观察式子特点――→变形化繁为简――→四则运算求导公式求导数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)y′＝2x－2－4x.(2)y′＝(x·tanx)′＝xsinxcosx′＝xsinx′cosx－xsinxcosx′cos2x＝sinx＋xcosxcosx＋xsin2xcos2x＝sinxcosx＋xcos2x.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(3)y′＝x′ex－x·ex′ex2＝1－xex.(4)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(5)先使用三角公式进行化简，得y＝x＋12sinx∴y′＝x＋12sinx′＝x′＋12sinx′＝1＋12cosx.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，如综合了和、差、积、商几种运算的函数，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．求下列函数的导数：(1)y＝x2·ex；(2)y＝cos2x；(3)y＝ln8x；(4)y＝2xx.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)y′＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′＝2x·ex＋x2·ex＝(2x＋x2)·ex.(2)令u＝2x，y＝cosu，则yx′＝yu′·ux′＝(cosu)′·(2x)′＝－2sin2x.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(3)令u＝8x，y＝lnu，则yx′＝yu′·ux′＝(lnu)′·(8x)′＝8·1u＝1x.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(4)y′＝2x′·x－2x·x′x2＝2xln2·x－2xx2＝xln2－1·2xx2.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升复合函数的导数写出下列各函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则，求出函数的导数．(1)y＝13－4x4；(2)y＝cos(2008x＋8)；(3)y＝21－3x；(4)y＝ln(8x＋6)．[思路点拨]选取中间变量→分解→求导→转化数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)引入中间变量u＝φ(x)＝3－4x.则函数y＝13－4x4是由函数f(u)＝1u4＝u－4与u＝φ(x)＝3－4x复合而成的．查导数公式表可得f′(u)＝－4u－5＝－4u5，φ′(x)＝－4.根据复合函数求导法则可得13－4x4′＝f′(u)φ′(x)＝－4u5·(－4)＝16u5＝163－4x5.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)引入中间变量u＝φ(x)＝2008x＋8，则函数y＝cos(2008x＋8)是由函数f(u)＝cosu与u＝φ(x)＝2008x＋8复合而成的，查导数公式表可得f′(u)＝－sinu，φ′(x)＝2008.根据复合函数求导法则可得[cos(2008x＋8)]′＝f′(u)φ′(x)＝(－sinu)·2008＝－2008sinu＝－2008sin(2008x＋8)．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(3)引入中间变量u＝φ(x)＝1－3x，则函数y＝21－3x是由函数f(u)＝2u与u＝φ(x)＝1－3x复合而成的，查导数公式表得f′(u)＝2uln2，φ′(x)＝－3，根据复合函数求导法则可得(21－3x)′＝f′(u)φ′(x)＝2uln2·(－3)＝－3×2uln2＝－3×21－3xln2.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(4)引入中间变量u＝φ(x)＝8x＋6，则函数y＝ln(8x＋6)是由函数f(u)＝lnu与u＝φ(x)＝8x＋6复合而成的，查导数公式表可得f′(u)＝1u，φ′(x)＝8.根据复合函数求导法则可得[ln(8x＋6)]′＝f′(u)·φ′(x)＝8u＝88x＋6.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升复合函数求导的注意事项(1)求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量．(2)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆，如y＝cos2x可由y＝cosu和u＝2x复合而成，第一步为y对