全国卷文科数列-复习

数列（文）复习【知识梳理】一、数列的通项公式如果数列}{na的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。（对于不是等差数列又不是等比数列的数列的通项公式只能找第n项与n的规律）例如：①：1，2，3，4，5，…②：514131211，，，，…数列①的通项公式是na=n（nN），数列②的通项公式是na=1n（nN）。说明：①na表示数列，na表示数列中的第n项，na=fn表示数列的通项公式；②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，na=(1)n=1,21()1,2nkkZnk；③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……二、数列{na}的前n项和nS与通项na的关系：11(1)(2)nnnSnaSSn≥三、等差数列1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为1(1)nnaadn或1(2)nnaadn。2、等差数列的通项公式：1(1)naand；说明：1、等差数列的单调性：d0为递增数列，0d为常数列，0d为递减数列。2、(),(为常数BABAnanna是等差数列)例：1.等差数列12,12nbnann，则na为nb为（填“递增数列”或“递减数列”）2.等差数列12nan，1nnaa3.{}na是首项11a，公差3d的等差数列，如果2005na，则序号n等于（A）667（B）668（C）669（D）6703、等差中项的概念：定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中2abAa，A，b成等差数列2abA即：212nnnaaa（mnmnnaaa2）例：1．设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380aaa，则111213aaaA．120B．105C．90D．752.设数列{}na是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A．1B.2C.4D.84、等差数列的性质：（1）在等差数列na中，对任意m，nN，()nmaanmd，nmaadnm()mn；（2）在等差数列na中，若m，n，p，qN且mnpq，则mnpqaaaa；在等差数列na中，若m，p，qN且qpm2，则qpmaaa2；例：已知等差数列na中，12497116aaaa，则，等于（）A．15B．30C．31D．645、等差数列的前n和的求和公式：11()(1)22nnnaannSnadnda）（2n2112。(),(2为常数BABnAnSnna是等差数列)等差数列常考题型1、判断或证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：）常数）（Nndaann(1na是等差数列②中项法：)221Nnaaannn（na是等差数列【③通项公式法】：),(为常数bkbknanna是等差数列【④前n项和公式法】：),(2为常数BABnAnSnna是等差数列1.已知数列}{na满足21nnaa，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知数列}{na的通项为52nan，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.已知一个数列}{na的前n项和422nsn，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断4.已知一个数列}{na的前n项和22nsn，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5.已知一个数列}{na满足0212nnnaaa，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2、等差数列的最值（1）如何判断最值：10a，0d时，nS有最大值；10a，0d时，nS有最小值；（2）nS最值的求法：①若已知nS，nS的最值可求二次函数2nSanbn的最值；可用二次函数最值的求法（nN）；②或者求出na中的正、负分界项，即：若已知na，则nS最值时n的值（nN）可如下确定100nnaa或100nnaa。1．等差数列na中，12910SSa，，则前项的和最大。2．设等差数列na的前n项和为nS，已知001213123SSa，，①求出公差d的范围；②指出1221SSS，，，中哪一个值最大，并说明理由。3．设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错．误．的是（）A.d＜0B.a7＝0C.S9＞S5D.S6与S7均为Sn的最大值3、利用11(1)(2)nnnSnaSSn求通项．1.数列{}na的前n项和21nSn．写出数列{}na的通项公式。2．已知数列na的前n项和，142nnSn则na3.设数列}{na的前n项和为Sn=2n2，求数列}{na的通项公式；4.已知数列na中，，31a前n和1)1)(1(21nnanS①求证：数列na是等差数列；②求数列na的通项公式四、等比数列1、等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(0)q；即：1na：(0)naqq。2、等比数列的递推关系与通项公式mnmnnnnnqaaqaaaa推广：通项公式：递推关系：111q例1.在等比数列na中,2,41qa，则na2.在等比数列na中,3712,2aq,则19_____.a3.在各项都为正数的等比数列{}na中，首项13a，前三项和为21，则345aaa（）A33B72C84D1894.在等比数列na中，22a，545a，则8a=3、等比中项：若三个数cba,,成等比数列，则称b为ca与的等比中项，且为acb。例1.23和23的等比中项为()()1A()1B()1C()2D2.设na是公差不为0的等差数列，12a且136,,aaa成等比数列，则na的前n项和nS=（）A．2744nnB．2533nnC．2324nnD．2nn4、等比数列的基本性质，（1）qpnmaaaaqpnm，则若),,,(Nqpnm其中qpmaaaqpm22，则若),,(Nqpm其中（2）)(2Nnaaaaaqmnmnnmnmn，（3）na为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.（4）na既是等差数列又是等比数列na是各项不为零的常数列.例1．在等比数列na中,1a和10a是方程22510xx的两个根,则47aa()5()2A2()2B1()2C1()2D2.在等比数列na，已知51a，100109aa，则18a=3.在等比数列na中，143613233nnaaaaaa，，①求na；②若nnnTaaaT求,lglglg214.等比数列{}na的各项为正数，且5647313231018,logloglogaaaaaaa则（）A．12B．10C．8D．2+3log55.已知等比数列{}na满足0,1,2,nan，且25252(3)nnaan，则当1n时，2123221logloglognaaa（）A.(21)nnB.2(1)nC.2nD.2(1)n5、等比数列的前n项和)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn例1.已知等比数列}{na的首相51a，公比2q，则其前n项和nS2.设等比数列}{na的前n项和为nS，已,62a30631aa，求na和nS3.设4710310()22222()nfnnN，则()fn等于（）A．2(81)7nB．12(81)7nC．32(81)7nD．42(81)7n6、等比数列的前n项和的性质若数列na是等比数列，nS是其前n项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等比数列.例1.设等比数列{na}的前n项和为nS，若336SS，则69SSA.2B.73C.83D.32.一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为（）A．83B．108C．75D．637、等比数列的判定法（1）定义法：（常数）qaann1na为等比数列；（2）中项法：)0(221nnnnaaaana为等比数列；（3）通项公式法：为常数）qkqkann,(na为等比数列；（4）前n项和法：为常数）（qkqkSnn,)1(na为等比数列。例1.已知数列}{na的通项为nna2，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知数列}{na满足)0(221nnnnaaaa，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.已知一个数列}{na的前n项和1n22ns，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断8、求等比数列的通项公式利用11(1)(2)nnnSnaSSn求通项．例1.数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，113nnaS，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式．数列综合常考题型一、求数列通项公式方法1、公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项1、数列na满足1a=8，022124nnnaaaa，且（Nn），求数列na的通项公式；2、已知数列}{na满足2122142nnnaaaaa且，（Nn），求数列na的通项公式；3、已知数列}{na满足，21a且1152(5)nnnnaa（Nn），求数列na的通项公式；2、累加法适用于：1()nnaafn若1()nnaafn(2)n，则21321(1)(2)()nnaafaafaafn两边分别相加得111()nnkaafn1.已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。2.设数列}{na满足21a，12123nnnaa，求数列}{na的通项公式3.已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。3、累乘法适用于：1()nnafna若1()nnafna，则31212(1)(2)()nnaaafffnaaa，，，两边分别相乘得，1111()nnkaafka1.已知数列na满足321a，nnanna11，求na。4、待定系数法适用于1()nnaqafn解题基本步骤：1、确定()fn；2、设等比数列1()nafn，公比为q；3、列出关系式)]([)1(1nfaqnfann；4、比较系数求、q；5、解得数列1()nafn的通项公式；6、解得数列na的通项公式；1.已知数列{}na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。2.在数列na中，若111,23(1)nnaa