抛物线及其标准方程练习题

课时作业(十二)[学业水平层次]一、选择题1．(2014·广东省茂名)准线与x轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－2xB．y2＝2xC．x2＝2yD．x2＝－2y【解析】本题考查抛物线标准方程的求法．由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－2)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.【答案】B2．(2014·人大附中高二月考)以双曲线x216－y29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()A．y2＝16xB．y2＝－16xC．y2＝8xD．y2＝－8x【解析】因为双曲线x216－y29＝1的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y2＝16x.【答案】A3．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y2＝43x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于()A.2B.3C．2D．23【解析】抛物线的焦点为(3，0)，即c＝3.双曲线的渐近线方程为y＝bax，由ba＝2，即b＝2a，所以b2＝2a2＝c2－a2，所以c2＝3a2，即e2＝3，e＝3，即离心率为3.【答案】B4．抛物线y2＝12x的准线与双曲线y23－x29＝－1的两条渐近线所围成的三角形的面积为()A．33B．23C．2D.3【解析】本题主要考查抛物线和双曲线的基本量和三角形面积的计算．抛物线y2＝12x的准线为x＝－3，双曲线的两条渐近线为y＝±33x，它们所围成的三角形为边长为23的正三角形，所以面积为33，故选A.【答案】A二、填空题5．(2014·绵阳高二月考)抛物线y2＝2x上的两点A、B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________．【解析】抛物线y2＝2x的焦点为F12，0，准线方程为x＝－12，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋12＋x2＋12＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.【答案】26．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)【解析】抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋p2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为52，0，过该焦点的直线方程为y＝kx－52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．【答案】②④7．抛物线y＝2x2的准线方程为________．【解析】化方程为标准方程形式为x2＝12y，故p2＝18，开口向上，∴准线方程为y＝－18.【答案】y＝－18三、解答题8．求焦点在x轴上，且焦点在双曲线x24－y22＝1上的抛物线的标准方程．【解】由题意可设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，则焦点为m2，0.∵焦点在双曲线x24－y22＝1上，∴m24×4＝1，求得m＝±4，∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.9．已知平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．【解】法一设点P的坐标为(x，y)，则有x－12＋y2＝|x|＋1.两边平方并化简，得y2＝2x＋2|x|.∴y2＝4xx≥0，0x＜0，即点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0)．法二由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x＜0时，直线y＝0上的点符合条件；当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0)．[能力提升层次]1．(2014·合肥高二月考)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，直线l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为()A．22B．4C.2D.322＋1【解析】将P点到直线l1：x＝－1的距离转化为点P到焦点F(1,0)的距离，过点F作直线l2的垂线，交抛物线于点P，此即为所求最小值点，∴P到两直线的距离之和的最小值为|1＋0＋3|12＋12＝22，故选A.【答案】A2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O为原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为()A.22B.2C.322D．22【解析】根据题意画出简图(图略)，设∠AFO＝θ(0θπ)，|BF|＝m，则点A到准线l：x＝－1的距离为3，得3＝2＋3cosθ⇒cosθ＝13，又m＝2＋mcos(π－θ)⇒m＝21＋cosθ＝32，△AOB的面积为S＝12·|OF|·|AB|·sinθ＝12×1×3＋32×223＝322，故选C.【答案】C3．如图2­4­2是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽________m.图2­4­2【解析】以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p0)．则A(2，－2)，代入方程得p＝1，∴抛物线的方程为x2＝－2y，设B(x0，－3)(x00)代入方程得x0＝－6.∴此时的水面宽度为26米．【答案】264．已知抛物线y2＝2px(p0)的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点F1，点M23，－263是两条曲线的一个公共点．(1)求抛物线的方程；(2)求双曲线的方程．【解】(1)把M23，－263代入方程y2＝2px，得p＝2，因此抛物线的方程为y2＝4x.(2)抛物线的准线方程为x＝－1，所以F1(－1,0)，设双曲线的右焦点为F，则F(1,0)，于是2a＝||MF1|－|MF||＝73－53＝23，因此a＝13.又因为c＝1，所以b2＝c2－a2＝89，于是，双曲线的方程为x219－y289＝1.