考研数学基础班概率统计讲义-汤家凤

..考研数学基础班概率统计讲义第一章随机事件与概率一、随机试验与随机事件（一）基本概念1、随机试验—具备如下三个条件的试验：（1）相同条件下可重复。（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。（3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E。2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。（二）事件的运算1、事件的积—事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A,B的积，记为AB。2、事件的和—事件A或者事件B发生,称为事件A,B的和事件，记为AB。3、事件的差—事件A发生而事件B不发生,称事件A,B的差事件，记为AB。（三）事件的关系1、包含—若事件A发生则事件B一定发生，称A包含于B，记为AB。若AB且BA，称两事件相等，记AB。2、互斥（不相容）事件—若A与B不能同时发生，即AB，称事件A,B不相容或互斥。3、对立事件—若AB且AB称事件A,B为对立事件。【注解】（1）A(AB)AB，且AB与AB互斥。（2）AB(AB)(BA)AB，且AB,BA,AB两两互斥。（四）事件运算的性质1、（1）ABA(或B)AB；（2）ABBA,ABBA；2、（1）AAA,AAA；（2）A(BC)(AB)(AC),A(BC)(AB)(AC)；3、（1）A(AB)A；（2）(AB)AAB；（3）AB(AB)AB(BA)。4、（1）AA；（2）AA。二、概率的定义与性质（一）概率的定义—设随机试验的样本空间为，满足如下条件的随机事件的函数P()称为所对应事件的..概率：..1、对事件A，有P(A)0（非负性）。2、P()1（归一性）。3、设A1,A2,L,An,L为不相容的随机事件，则有P(UAn)P(An)（可列可加性）。（二）概率的基本性质1、P()0。n1n1nn2、设A1,A2,L,An为互不相容的有限个随机事件列，则P(UAk)P(Ak)。k1k13、P(A)1P(A)。4、（减法公式）P(AB)P(A)P(AB)。（三）概率基本公式1、加法公式（1）P(AB)P(A)P(B)P(AB)。（2）P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)。2、条件概率公式：设A,B是两个事件，且P(A)0，则P(B|A)P(AB)。P(A)3、乘法公式（1）设P(A)0，则P(AB)P(A)P(B|A)。（2）P(A1A2LAn)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)LP(An|A1A2LAn1)。三、事件的独立性1、两个事件的独立—设A,B是两个事件，若P(AB)P(A)P(B)，称事件A,B相互独立。P(AB)P(A)P(B);2、三个事件的独立—设A,B,C是三个事件，若P(AC)P(A)P(C);P(BC)P(B)P(C);P(ABC)P(A)P(B)P(C),，称事件A,B,C相互独立。【注解】（1）A,B相互独立的充分必要条件是A,B、A,B、A,B任何一对相互独立。..（2）设P(A)0或P(A)1，则A与任何事件B独立。..（3）设P(A)0,P(B)0，若A,B独立，则A,B不互斥；若A,B互斥，则A,B不独立。四、全概率公式与Bayes公式1、完备事件组—设事件组A1,A2,L,An满足：（1）AiAj(i,j1,2,L,n,ij)；n（2）UAi，则称事件组A1,A2,L,An为一个完备事件组。i12、全概率公式：设A1,A2,L,An是一个完备事件组，且P(Ai)0(i1,2,L,n)，B为事件，则nP(B)P(Ai)P(B|Ai)。i13、贝叶斯公式：设A1,A2,L,An为一个完备事件组，且P(Ai)0(i1,2,L,n)，B为任一随机事件，P(B)0，则P(A|B)P(Ai)P(B|Ai)。iP(B)例题选讲一、填空题1、设P(A)0.4,P(AB)0.7，（1）若A,B不相容，则P(B)；（2）若A,B相互独立，则P(B)。2、设P(A)P(B)P(C)。1,P(AB)P(AC)P(BC)146，则事件A,B,C全不发生的概率为3、设两两相互独立的事件A,B,C满足：ABC,P(A)P(B)P(C)1，且有P(ABC)9，216则P(A)。4、设事件A,B满足P(AB)P(AB)，且P(A)p，则P(B)。5、设A,B为两个相互独立的随机事件，且A,B都不发生的概率为1，A发生B不发生的概率与A不发生B9发生的概率相等，则P(A)。..二、选择题：1、设A,B是两个随机事件，且0P(A)1,P(B)0,P(B|A)P(B|A)，则[](A)P(A|B)P(A|B)；(B)P(A|B)P(A|B)；..(C)P(AB)P(A)P(B)；(D)P(AB)P(A)P(B)。2、设事件A,B满足0P(A)1,0P(B)1，且P(A|B)P(A|B)1，则[](A)事件A,B对立；(B)事件A,B相互独立；(C)事件A,B不相互独立；(D)事件A,B不相容。三、解答题1、一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取2次，每次抽取一个，抽取后不放回，求第二次抽取的是次品的的概率。2、设工厂A与工厂B的次品率分别为1%和2%，现从由A和B生产的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品是A生产的概率。3、设事件A在每次试验中的概率为p，三次独立重复试验中事件A至少出现一次的概率为19，求事件A27发生的概率p。4、甲乙两人独立对同一目标射击一次，命中率分别为50%和60%，已知目标被命中，求是甲命中的概率。第二章一维随机变量及其分布一、基本概念1、随机变量—设为随机试验E的样本空间，为定义在上的函数，对任意的，总存在唯一确定的()与之对应，称为随机变量，若的可能取值为有限个或可列个，称为离散型随机变量，若在某可区间上连续取值，称为连续型随机变量。2、分布函数—设为一个随机变量，称函数F(x)P{x}(x)为随机变量的分布函数。【注解1】分布函数的四个特征为（1）0F(x)1。（2）F(x)单调不减。（3）F(x)右连续。（4）F()0,F()1。【注解2】分布函数的性质（1）P{Xa}F(a0)。（2）P{Xa}F(a)F(a0)。（3）P{axb}F(b)F(a)。（4）P{aXb}F(b0)F(a)。3、离散型随机变量的分布律—称P{Xxi}pi(1in)称为随机变量X的分布律。..【注解】（1）pi0(1in)。（2）p1p2Lpn1。..nx4、连续型随机变量的密度函数—设X的分布函数为F(x)，若存在非负可积函数f(x)，使得xF(x)f(t)dt，称f(x)为X的密度函数。【注解】（1）f(x)0。（2）f(x)dx1。二、常见随机变量及其分布（一）离散型1、二项分布—若随机变量X的分布律为P{Xk}Ckpk(1p)nk(0kn)，称随机变量X服从二项分布，记为X~B(n,p)。2、Poisson分布—若随机变量X的分布律为P{Xk}e(k0,1,2,L)，称随机变量X服从泊松分k!布，记为X~()。3、几何分布—若随机变量X的分布律为P{Xk}p(1p)k1(k1,2,L)，称随机变量X服从几何分布，记为X~G(p)。（二）连续型1,axb1、均匀分布—若随机变量的密度函数为f(x)ba0,其他，称随机变量服从均匀分布，记为0,x0~U(a,b)，其分布函数为F(x)xa,axb。ba1,xb2、正态分布—若随机变量的密度函数为f(x)1e2(x)222(x)，称随机变量服从正态分布，记为~N(,2)，特别地，若0,1，称随机变量服从标准正态分布，记为~N(0,1)，其密度2为(x)1e2(x)，其分布函数为2k..x(x)(t)dt。exx3、指数分布—若随机变量的密度为f(x),0(0)，称随机变量服从指数分布，记为0,x0..0,x0~E()，其分布函数为F(x)1ex。,x0【注解】（1）(0)1,(a)1(a)。2（2）若~N(,2)，则P{}P{}1。2（3）若~N(,2)，则~N(0,1)。（4）若~N(,2)，则P{ab}F(b)F(a)(b)(a)。例题选讲一、选择题1、设X1,X2的密度为f1(x),f2(x)，分布函数为F1(x),F2(x)，下列结论正确的是[](A)F1(x)F2(x)为某随机变量的分布函数；(B)f1(x)f2(x)为某随机变量的密度函数；(C)F1(x)F2(x)为某随机变量的分布函数；(D)f1(x)f2(x)为某随机变量的密度函数。2、设随机变量X的密度函数f(x)为偶函数，其分布函数为F(x)，则[](A)F(x)为偶函数；(B)F(a)2F(a)1；a1a(C)F(a)10f(x)dx；(D)F(a)20f(x)dx。3、设X~N(,42),Y~N(,52)，令pP{X4},qP{Y5}，则[](A)对任意实数都有pq；(B)对任意实数都有pq；(C)对个别，才有pq；(D)对任意实数，都有pq。4、设X~N(,2)，则随的增大，概率P{|X|}[](A)单调增大；(B)单调减少；`(C)保持不..变；(D)增减不确定。二、填空题1、设X~N(,2),方程y24yX0无实根的概率为1,则。2..2、设X~B(2,p),Y~B(3,p),若P{X1}5,则P{Y1}。9三、解答题1、有3个盒子，第1个盒子有4个红球1个黑球，第2个盒子有3个红球2个黑球，第3个盒子有2个红球3个黑球，若任取一个盒子，从中任取3个求，以X表示红球个数。（1）写处X的分布律；（2）求红球个数不少于2个的概率。0,x12、设离散型随机变量X的分布函数为F(x)0.3,1x1，求X的分布律。0.7,1x21,x2Aex,x03、设X的分布函数为F(x)B,0x1，1Ae(x1),x1（1）求A,B；（2）求密度函数f(x)；（3）求P{X1}。34、设X~U(0,2)，求随机变量YX2的概率密度。5、设X~N(0,1)，且YX2，求随机变量Y的概率密度。第三章二维随机变量及其分布一、基本概念1、联合分布函数—设(X,Y)为二维随机变量