高斯投影及其计算资料

第六章高斯投影及其计算江苏师范大学测绘学院应用大地测量学第一节地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学一、地图投影及其变形1.地图投影就是将椭球面上的各元素（包括坐标、方向和长度）按照一定的数学法则投影到平面上。研究这个问题的专门学科叫地图投影学。所谓数学法则就是下面的两个方程式：x=F1（B、L）y=F2（B、L）可见地图投影问题就是建立椭球面大地坐标（B、L）与投影平面上对应的坐标（x、y）之间的函数关系。给定不同的具体条件，得出不同种类的投影公式。第一节地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学垂直投影一、地图投影及其变形第一节地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学中心投影圆柱投影第一节地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学2.投影变形角度变形、长度变形和面积变形三种。等角、等距、等积投影3.投影长度比与长度变形投影长度比——投影面上无限小线段ds与椭球面上该线段实际长度dS之比，以m表示就一般地图投影而言，长度比是一个变量，它不仅与点位有关，而且也随该点上线段方向的不同而不同。也就是说，不同点上的长度比不同，同一个点上不同方向的长度比也不相同。长度比与1之差，称为投影长度相对变形，简称长度变形当m-10时，投影后长度将增加；当m-10时，投影后长度将缩短。dSdSdsmv1dSdsm4.主方向、变形椭圆与变形指标若将地球椭球面上过一点的两个互为正交的方向投影到平面上，一般不能再保持正交，但其中总有一组在椭球面上正交的方向投影后仍然保持正交，则称这两个方向为主方向。主方向还有另外一个性质，即它们投影后具有最大和最小长度比。即长度比极值所在的方向为主方向。第一节地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学第一节地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学变形椭圆第一节地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学变形指标：主方向上投影长度比a和b叫变形指标。若a=b，则为等角投影，既投影后长度比不随方向而变化。若ab=1，则为等面积投影。椭球面上微分圆：投影平面上对应为微分椭圆：变形椭圆第一节地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学5.地图投影的分类按投影变形的性质：等角投影、等面积投影、等距离投影；按投影面：平面投影、圆柱面投影、圆锥面投影；按投影面的中心轴向：正轴投影、横轴投影、斜轴投影等角投影（正形投影）——投影后角度不变，保持小范围内图形相似，a=b。等面积投影——用于某些专题地图，投影后面积不变。ab=1等距离投影——保持某一方向上的投影变形为0.如a=1或b=1第一节地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学平面投影——投影平面与椭球面在某一点相切，按数学投影建立函数关系。圆锥面投影——圆锥面与椭球体在某一纬圈相切或某两纬圈相割，按数学投影，然后将圆锥面展开成平面。圆柱面投影——圆柱面或椭圆柱面与椭球面在赤道或某一子午线上相切，按数字投影，然后将圆柱面展开。正轴投影——圆柱面中心轴与椭球短轴重合，圆柱面与赤道相切。横轴投影——圆柱面中心轴与椭球长轴重合，圆柱面与某一子午圈相切。斜轴投影——圆柱面中心轴与椭球长、短轴都不重合，位于两者之间。应用大地测量学第一节地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学第一节地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学第一节地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学第一节地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学第一节地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学第一节地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学第一节地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学第一节地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学第一节地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学第一节地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学第一节地图投影概念和正形投影性质第一节地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学二、正形投影特性两个基本要求：1、任一点上，投影长度比m为一常数，不随方向而变，仅与点位置有关。2、投影后角度不变形。又叫保角映射。条件是在微小范围内成立。所以，正形投影的特性是：投影长度比m仅与点的位置有关，而与方向无关。第一节地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学三、正形投影的一般条件第一节地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学222222cosdydxdsBdlNMdBdS22222222222coscoscosdlBNMdBBNdydxBdlNMdBdydxdSdsm引入符号：BNMdBdqcos222222[()]dxdymrdqdlBBNMdBq0cos等量纬度LBFyLBFx,,21lqyylqxx,,相当于dllydqqydydllxdqqxdx于是有222dydxds代入22222222222xxxxdsdqdqdldlqqllyyyydqdqdldlqqll第一节地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学第一节地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学22222222xyxxyyxydsdqdqdldlqqqlqlll令2222lylxGlyqylxqxFqyqxE则有2222dlGdldqFdqEds第一节地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学2222222[()]EdqFdqdlGdlmrdqdl于是长度比的通用公式即为此式dldqBdlNBdqNrdlMdBPPPPAcoscos90tan3132由图可知Adqdltan即222222222tan(tantan2dqAdqrdqAGdqAFdqEm于是第一节地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学22222tantansecEFAGAmrA2222cos2sincossinEAFAAGAmr要使上式中的m与A脱离关系，必须满足：GEF,00lyqylxqx2222lylxqyqxlyqxqylx从椭球面到平面投影的柯西-黎曼条件第一节地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学其推证步骤为：1、从长度比表达式出发，求出m2与dx2，dy2和dB2，dl2关系式；2、引入等量纬度q，将x、y表为q、l的函数；3、对x=f1（q，l），y=f2（q，l）取全微分，引入符号E、F、G；4、根据长度比m与方向A无关，得F=0，E=G；5、由E=G、F=0得主要条件。第一节地图投影概念和正形投影性质应用大地测量学四、正形投影一般公式根据复变函数理论，下列复变函数满足柯西(Cauchy)—黎曼(Riemann)条件，式中，f代表任意解析函数。证明：()xiyfqilxiyfxyiqqqqxiyfxyillll(6-13)第一节地图投影概念和正形投影性质qilfffqqilqqilqilfffilqillqilffilq由得第一节地图投影概念和正形投影性质xyxyiillqq将（6-13）代入上式求得将式中的实部与虚部分开得：,xyxylqql该式就是从椭球面到平面的柯西黎曼方程，所以下式为正形投影的一般公式，使用该公式可以导出高斯投影正反算公式。()xiyfqil第二节高斯投影与国家平面直角坐标系应用大地测量学一、高斯投影的基本概念SONyxSON第二节高斯投影与国家平面直角坐标系应用大地测量学高斯投影的条件（1）投影后角度不产生变形，满足正形投影要求；（2）中央子午线投影后是一条直线；（3）中央子午线投影后长度不变，其投影长度比恒等于1。高斯投影除了在中央子午线上没有长度变形外，不在中央子午线上的各点，其长度比都大于1，且离开中央子午线愈远，长度变形愈大。第二节高斯投影与国家平面直角坐标系应用大地测量学二、高斯投影的长度比和长度变形前面已经导出了从椭球面到高斯平面投影的长度比公式为：2222cos2sincossinEAFAAGAmr在满足F=0，E=G时，22222()()xyEqqmrr或22222()()xyGllmrr因为我们总是将x和y展开为l的幂级数，因此用后面的式子比较方便，为此将后面的式子写成：第二节高斯投影与国家平面直角坐标系应用大地测量学222221[()()]cosxymNBll在后面的内容中我们会推出：243224652433225524222sincossincos594224sincos6158720coscos16cos5181458120llxXNBBNBBtlNBBttlylNBNBtlNBttt第二节高斯投影与国家平面直角坐标系应用大地测量学将上式对l求偏导数，得：332224222524sincossincos596coscos1cos518224xllNBBNBBtlyllNBNBtNBttl将上式代入长度比公式中，得：2221cos211Blm上式就是用大地坐标表示的长度比计算公式。但是该公式不实用，下面推导用平面坐标表示的长度比计算公式。第二节高斯投影与国家平面直角坐标系应用大地测量学3322coscos16lylNBNBtBNylcos取其主项代入到长度比公式中，得222121NymMN21因为MNR2212ymR所以24241224yymRR或第二节高斯投影与国家平面直角坐标系应用大地测量学y/（km）1020304050100150200250300长度变形m-11/8100001/2020001/900001/500001/320001/80001/35001/20001/13001/90020°30°40°50°501002003003501.0000311.0001241.0004941.0011121.0015141.0000311.0001231.0004931.0111001.0000311.0001231.0004921.0000311.0001231.000491By/km第二节高斯投影与国家平面直角坐标系应用大地测量学三、高斯投影的分带为限制长度投影变形，投影分带有6度分带和3度分带两种方法。321L0NLn4543413937353331292725232221201918171615141321138°132°126°120°114°108°102°96°90°84°78°72°12°6°0°135°129°123°117°111°105°99°93°87°81°75°9°3°第二节高斯投影与国家平面直角坐标系应用大地测量学三、高斯投影的分带6°带带号N和中央子午线经度LN的关系式：LN=6N-33°带带号n