2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)

2020年考研数学一真题及答案解析（完整版）一、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.0x时，下列无穷小量中最高阶是（）A.201xtedtB.30ln(1)xtdtC.sin20sinxtdtD.1cos20sinxtdt2.设函数()fx在区间（-1，1）内有定义，且0lim()0,xfx则（）A.当0()lim0,()0||xfxfxxx在处可导.B.当20()lim0,()0xfxfxxx在处可导.C.当0()()0lim0.||xfxfxxx在处可导时,D.当20()()0lim0.xfxfxxx在处可导时,3.设函数()fx在点（0，0）处可微，(0,0)(0,0)0,,,1fffnxy非零向量d与n重直，则（）A.22(,)(0,0)|(,,(,))|lim0xynxyfxyxy存在B.22(,)(0,0)|(,,(,))|lim0xynxyfxyxy存在C.22(,)(0,0)|(,,(,))|lim0xydxyfxyxy存在D.22(,)(0,0)|(,,(,))|lim0xydxyfxyxy4.设R为幂级数1nnnax的收敛半径，r是实数，则（）A.1nnnax发散时，||rRB.1nnnax发散时，||rRC.||rR时，1nnnax发散D.||rR时，1nnnax发散5.若矩阵A经初等变换化成B，则（）A.存在矩阵P，使得PA=BB.存在矩阵P，使得BP=AC.存在矩阵P，使得PB=AD.方程组Ax=0与Bx=0同解6.已知直线22211112:xaybcLabc与直线33322222:xaybcLabc相交于一点，法向量,1,2,3.iiiiaabic则A.1a可由23,aa线性表示B.2a可由13,aa线性表示C.3a可由12,aa线性表示D.123,,aaa线性无关7.设A,B,C为三个随机事件，且11()()(),()0()()412PAPBPCPABPACPBC，则A,B,C中恰有一个事件发生的概率为A.34B.23C.12D.5128.设12(),,,nxxx…为来自总体X的简单随机样本，其中1(0)(1),()2PXPXx表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得100155iiPX的近似值为A.1(1)B.(1)C.1(0,2)D.(0,2)二、填空题：9—14小题，每小题2分，共24分。请将解答写在答题纸指定位置上.9.011lim1ln(1)xxex10.设221ln(1)xtytt，则212|tdydx11.若函数()fx满足()()()0(0),(0),(0)fxafxfxafmfn且，则0()dfxx12.设函数20(,)edxyxtfxyt，则2(1,11)fxy13.行列式011011110110aaaa14.设x顺从区间,22上的均匀分布，sinYX，则(,CovXY三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）求函数33(,)8fxyxyxy的最大值16.（本题满分10分）计算曲线积分222444LxyxyIdxdyxyxy其中L是22xy，方向为逆时针方向17.（本题满分10分）设数列{}na满足111(1)12nnaxana，证明：当||1x时幂纹数1nnnax收敛，并求其和函数.18.（本题满分10分）设为由面2222:4Zxyxy的下侧，()fx是连续函数，计算[()2][()2][2()2]Ixfxyydydzyfxyyxdzdxfxydxdy19.设函数()fx在区间[0,2]上具有连续导数，(0,2)(0)(2)0,max{|()|},xffMfx证明（1），存在号(0,2)，使得|()|fM（2）若对任意的(0,2),|()|xfxM，则0M.20.设二次型22121122(,)44fxxxxxx经正交变换1122xyQxy化为二次型22121122(,)4gyyayyyby，其中ab.（1）求,ab的值.（2）求正交矩阵Q.21.设A为2阶矩阵，(,)PA，其中是非零向量且不是A的特征向量.（1）证明P为可逆矩阵（2）若260AA，求1PAP，并判断A是否相似于对角矩阵.22.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1与X2均服从标准正态分布，X3的概率分布为3331321{0}{1},(1)2PXPXYXXXX.（1）求二维随机变量（X1，Y）的分布函数，结果用标准正态分布函数()x表示.（2）证明随机变量Y服从标准正态分布.23.设某种元件的使用寿命T的分布函数为1e,0,()0,.mttFt其他其中m,为参数且大于零.（1）求概率{}PTt与{|}PTStTS，其中0,0St.（2）任取n个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为12,,nttt…，若m已知，求的最大似然估计值ˆ.