人教版高中必修1-函数的基本性质-函数的单调性-课件

1.3.1函数的单调性函数的基本性质思考1：观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法。下面，我们将按照列表、描点、连线等步骤画出函数的图象。（1）列表x-2-1012y41014（2）描点（3）连线（用光滑的曲线连接）得到的图象如图所示。2xy2xy2xyx0y1124-1-2引入：从函数的图象看到图象在y轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x在区间[0，+)上取值时，随着x的增大,相应的y值也随着增大，这时我们就说函数y=f(x)=在[0,+)上是增函数。图象在y轴的左侧部分是下降的，也就是说，当x在区间（-，0）上取值时，随着x的增大，相应的y值反而随着减小，这时我们就说函数y=f(x)=在(-,0)上是减函数。yxO1124-1-22x2x那么应该如何用数学语言来描述并给出增函数与减函数的定义呢？思考：函数f(x)=x2:则f(x1)=,f(x2)=x12x22∴函数f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数。都有xy0x1x2f(x1)f(x2)在(0,+∞)上任取x1、x2,因此在f(x)在（0,+∞）上,当x增大时,函数值y相应地随着增大。这与观察图象所得结果是一致的。所以f(x)在（0,+∞）上是增函数。x12x22对任意x1x2,即对任意x1x2，都有f(x1)f(x2)函数f(x)=x2:则f(x1)=,f(x2)=x12x22∴函数f(x)=x2在(-∞,0)上是减函数。都有y0x1x2f(x1)f(x2)在(-∞,0)上任取x1、x2,因此在f(x)在（-∞，0）上,当x增大时,函数值y相应地随着减小。这与观察图象所得结果是一致的。所以f(x)在（-∞，0）上是减函数。x12x22对任意x1x2,即对任意x1x2，都有f(x1)f(x2)x如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是。增函数与减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是。xoyy=f(x)x1x2f(x2)f(x1)yxox1x2f(x1)f(x2)y=f(x)增函数减函数0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在区间I内在区间I内图象y=f(x)y=f(x)图象特征数量特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在区间I内在区间I内图象y=f(x)y=f(x)图象特征从左至右，图象上升数量特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在区间I内在区间I内图象y=f(x)y=f(x)图象特征从左至右，图象上升数量特征y随x的增大而增大0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在区间I内在区间I内图象y=f(x)y=f(x)图象特征从左至右，图象上升从左至右，图象下降数量特征y随x的增大而增大0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在区间I内在区间I内图象y=f(x)y=f(x)图象特征从左至右，图象上升从左至右，图象下降数量特征y随x的增大而增大y随x的增大而减小0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在区间I内在区间I内图象y=f(x)y=f(x)图象特征从左至右，图象上升从左至右，图象下降数量特征y随x的增大而增大当x1＜x2时，f(x1)f(x2)y随x的增大而减小0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在区间I内在区间I内图象y=f(x)y=f(x)图象特征从左至右，图象上升从左至右，图象下降数量特征y随x的增大而增大当x1＜x2时，f(x1)f(x2)y随x的增大而减小当x1＜x2时，f(x1)f(x2)Oxyx1x2f(x1)f(x2)由此得出单调增函数和单调减函数的定义.xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数y=f(x)的定义域为A,区间IA.设函数y=f(x)的定义域为A,区间IA.当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说在f(x)这个区间上是单调增函数，I称为f(x)的单调增区间.单调区间那么就说在f(x)这个区间上是单调减函数，I称为f(x)的单调减区间.如果对于属于定义域A内某个区间I，对任意的x1,x2I如果对于属于定义域A内某个区间I，对任意的x1,x2I如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数f(x)的单调区间。单调性与单调区间：注意：⑴函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数;⑵函数的单调区间是其定义域的子集。例1：下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图像说出函数的单调区间以及每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解：函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)是减函数，在区间[-2,1),[3,5]上是增函数。yoxoyxyox在(-∞,+∞)是减函数在(-∞,0)和(0,+∞)是减函数在增函数在减函数ab2--，,2abyoxyoxyox在(-∞,+∞)是增函数在(-∞,0)和(0,+∞)是增函数在增函数在减函数ab2--，,2ab(0)ykxbk(0)ykxbk1yx1yx2(0)yaxbxca2(0)yaxbxca对任意x1,x2[0，+∞）,且x1x2，则：2121)()(xxxfxf2121xxxx由0≤x1x2得021xx021xx于是f(x1)-f(x2)＜0。即f(x1)＜f(x2)所以函数在区间[0，+∞）上为增函数。xxf)(取值作差变形定号下结论证明:例2证明函数在区间[0，+∞）上为增函数。xxf)(三．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：1取值：设任意两个实数x1、x2有，x1，x2∈D，且x1x2；2作差：f(x1)－f(x2)；3变形：通常是因式分解和配方；4定号：即判断差f(x1)－f(x2)的正负；5下结论：即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性．3.利用定义证明函数单调性的步骤:设值定号作差得出结论2.图象法判断函数的单调性：增函数的图象从左到右减函数的图象从左到右1.增函数、减函数的定义；上升下降变形课本上习题1.3A组：1,2题