《充分条件和必要条件》课件

课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动1．1.3充分条件和必要条件1．理解充分条件、必要条件、充要条件的概念．2．会判断所给条件是充分条件、必要条件、还是充要条件．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动自学导引1．在“若p，则(那么)q”形式的命题中，把p称为命题的，q称为命题的．“若p，则q”为真命题，我们就说由p可以推出q，记作，读作“”．2．如果p可推出q，则称p是q的条件，q是p的条件．条件结论p⇒qp推出q充分必要课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动3．如果既有，又有，就记作p⇔q，此时称p是q的充分必要条件，简称，显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．4．p是q的充要条件，又常说成或.5．从命题的条件和结论探求充分必要条件，将探求的结论填入下表.p⇒qq⇒pp是q的充要条件q当且仅当pp与q等价条件p与结论q的关系结论p⇒q，但q⇒pq⇒p，但pqp⇒q，q⇒p，即p⇔q条件p是结论q的充分不必要条件条件p是结论q的必要不充分条件条件p是结论q的充要条件条件p既不是结论q的充分条件也不是q的必要条件课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动自主探究1．如何判断p是q的什么条件？提示主要判断p⇒q及q⇒p两命题的正确性．2．若p是q的充分条件，p唯一吗？提示不唯一，如x＞3是x＞0的充分条件，而x＞5，x＞8，…等都是x＞0的充分条件．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动预习测评1．设原命题“若p，则q”为真，而逆命题为假，则p是q的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析利用充分条件的定义判断．答案A课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动2．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的()．A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析x2＋(y－2)2＝0，即x＝0且y＝2，∴x(y－2)＝0.反之x(y－2)＝0，即x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立．答案B课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动3．用“充分条件”和“必要条件”填空．(1)“xy＝1”是“lgx＋lgy＝0”的________．(2)“α＝β”是“sinα＝sinβ”的________．(3)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的________．(4)“李明同学已经踢过足球”是“李明已参加过球类活动”的________，“李明已参加过球类活动”是“李明已经踢过足球”的________．答案(1)必要条件(2)充分条件(3)充分条件(4)充分条件必要条件课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动4．“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的________条件．解析由b2＝aca，b，c成等比数列，例如：a＝0，b＝0，c＝5.若a，b，c成等比数列，由等比数列的定义，知b2＝ac.答案必要不充分课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动要点阐释1．从集合的观点上探究充分、必要条件，首先建立与p、q相对应的集合，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}．可以利用集合之间的子集关系来说明”推出“这种逻辑关系，如下表：若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p、q互为充要条件若AB，且BA，则p是q的既不充分也不必要条件课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动2.在逻辑推理中，p⇒q，还可以表达成以下几种说法：①“如果p，则q”为真命题；②p是q的充分条件；③q是p的必要条件；④p的必要条件是q；⑤q的充分条件是p.这五种说法表示的逻辑关系是一样的，说法不同而已．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动典例剖析题型一充分、必要条件的判断【例1】给出下列四组命题：(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；(3)p：m－2；q：方程x2－x－m＝0无实根；(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．试分别指出p是q的什么条件．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动解(1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，而(x－2)(x－3)＝0x－2＝0.∴p是q的充分不必要条件．(2)∵两个三角形相似两个三角形全等；但两个三角形全等⇒两个三角形相似．∴p是q的必要不充分条件.(3)∵m－2⇒方程x2－x－m＝0无实根；方程x2－x－m＝0无实根m－2.∴p是q的充分不必要条件．(4)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q；而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴qp．∴p是q的充分不必要条件．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动点评判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q及q⇒p的命题的正确性．若p⇒q为真，则p是q成立的充分条件，若q⇒p为真，则p是q成立的必要条件．注意利用“成立的证明，不成立的举反例”的数学方法技巧来作出判断．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动1．指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：AB，q：BCAC；(2)在△ABC中，p：sinAsinB，q：tanAtanB；(3)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动解(1)在△ABC中，显然有AB⇔BCAC，所以p是q的充要条件．(2)取A＝120°，B＝30°，pq，又取A＝30°，B＝120°，q⇒/p，所以p是q的既不充分也不必要条件．(3)因为p：A＝{(1，2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，AB，所以p是q的充分不必要条件．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动题型二充分、必要条件的应用【例2】已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m0)．若q是p的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m(m0)，∴p：A＝{x|－2≤x≤10}，q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m(m0)}．∵q是p的充分不必要条件，∴BA.∴m0，1＋m≤10，解得0m≤3.1－m≥－2，∴实数m的取值范围是(0，3]．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动点评在涉及到求参数的取值范围又与充分、必要条件有关的问题时，常常借助集合的观点来考虑．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动2．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的根的充要条件．解设方程的两根为x1，x2，使x1，x2都大于1的充要条件是：（2k－1）2－4k2≥0，（x1－1）＋（x2－1）0，（x1－1）（x2－1）0，即k≤14，（x1＋x2）－20，x1x2－（x1＋x2）＋10，由根与系数的关系，得k≤14，－（2k－1）－20，k2＋（2k－1）＋10，解得k－2，所以所求的充要条件是k－2.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动题型三充要条件的证明【例3】设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝90°.证明充分性：因为A＝90°，所以a2＝b2＋c2.于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，即x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0.所以[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0，该方程有两根：x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)．同样，另一个方程x2＋2cx－b2＝0也可化为x2＋2cx－(a2－c2)＝0，即[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0.该方程也有两根：x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动从而可以发现x1＝x3，所以两方程有公共根．必要性：设x是两方程的公共根，则x2＋2ax＋b2＝0，①x2＋2cx－b2＝0.②Ｋ由①＋②得x＝－(a＋c)，将其代入①并整理可得a2＝b2＋c2，所以A＝90°.点评充要条件的证明关键是根据定义确定条件和结论，然后搞清充分性是由条件推结论，必要性是由结论推条件．也可以理解为：证充分性就是证原命题成立，证必要性就是证原命题的逆命题成立．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动3.设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.证明①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy0两种情况．当xy＝0时，不妨设x＝0，则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．当xy0时，即x0，y0或x0，y0.又当x0，y0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立．当x0，y0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，∴等式成立．总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R.则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|，∴|xy|＝xy，∴xy≥0.综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动误区警示因忽略题目中的隐含条件而出错【示例】判断下列说法是否正确？如果不正确，分析错误的原因．(1)x2＝x＋2是xx＋2＝x2的充分条件；(2)x2＝x＋2是xx＋2＝x2的必要条件．[错解](1)x2＝x＋2是xx＋2＝x2的充分条件是指x2＝x＋2⇒xx＋2＝x2.而x2＝x＋2⇒x＝x＋2⇒x2＝xx＋2.故说法正确．(2)x2＝x＋2是xx＋2＝x2的必要条件是指xx＋2＝x2⇒x2＝x＋2.而xx＋2＝x2⇒x＋2＝x⇒x＋2＝x2.故说法正确．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动错因分析导致判断错误的原因是忽略题目中的隐含条件，扩大了x的范围．在充分条件和必要条件的判断推理中，需注意隐含条件是否会对结果造成影响．[正解](1)x2＝x＋2⇔x＝±x＋2，故x2＝x＋2/⇒x2＝xx＋2.反例：x＝－1.故说法错误．(2)xx＋2＝x2⇔x＝0或x＋2＝x(其中x为正)，故xx＋2＝x2/⇒x2＝x＋2.故说法错误．点评要判断充分、必要条件，首先应分清命题的条件和结论，条件⇒结论为充分性，结论⇒条件为必要性，确定条件为不充分或不必要条件时，常用举反例的方法．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动课堂总结1．充分条件和必要条件是数学中的重要概念，主要用来区分命题中的条件p和结论q之间的关系，主要以其他知识为载体对条件p是结论q的什么条件进行判断，判断时要尝试从条件推结论，从结论推条件，再确定条件是结论的什么条件．如果由条件推出了结论，则条件是结论成立的充分条件；如果由结论推出了条件，则条件是结论成立的必要条件．2．证明p是q的充要条件，要证明充分性、必要性两个方面．