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-1-第一章集合§1.1集合与集合的表示方法1．1.1集合的概念1．元素与集合的概念(1)集合：一般地，把一些能够____________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的______构成的集合(或集)．通常用英语大写字母表示．(2)元素：构成集合的________叫做这个集合的元素(或成员)，通常用英语小写字母表示．2．集合中元素的特性：________、________.3．元素与集合的关系(1)如果a是集合A的元素，就说________，记作_____________________________．(2)如果a不是集合A的元素，就说__________，记作______．4．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母____、____、____、____、____或____来表示．5．集合的分类集合空集：不含任何元素，记作.非空集合：按含有元素的个数分为：含有有限个元素：含有无限个元素一、选择题1．下列语句能确定是一个集合的是()A．著名的科学家B．留长发的女生C．2010年广州亚运会比赛项目D．视力差的男生2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是()A．0∈A；B．a∉A；C．a∈A；D．a＝A3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是()A．直角三角形；B．锐角三角形；C．钝角三角形；D．等腰三角形4．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是()A．1；B．－2；C．6；D．25．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为()A．2；B．3；C．0或3；D．0,2,3均可6．由实数x、－x、|x|、x2及－3x3所组成的集合，最多含有()A．2个元素；B．3个元素；C．4个元素；D．5个元素二、填空题7．由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号)①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．8．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．9．用符号“∈”或“∉”填空－2_______R，－3______Q，－1______N，π________Z.三、解答题10．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素；(4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．-2-11．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.能力提升12．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2．集合中元素的三个性质(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．-3-第一章集合§1.1集合与集合的表示方法1．1.1集合的概念知识梳理1．(1)确定的不同的全体(2)每个对象2.确定性互异性3．(1)a属于Aa∈A(2)a不属于集合Aa∉A4.RQZNN*N＋5.∅有限集无限集作业设计1．C[选项A、B、D都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．]2．C[由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”，故选C.]3．D[集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.]4．C[因A中含有3个元素，即a2,2－a,4互不相等，将选项中的数值代入验证知答案选C.]5．B[由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．]6．A[因为|x|＝±x，x2＝|x|，－3x3＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x、－x，故集合中最多含有2个元素．]7．①④解析①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④.8．－1解析当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故答案为－1.9．∈∈∉∉10．解(1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素．(4)不正确，因为个子高没有明确的标准．11．解由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a＝－1或a＝－32.则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．当a＝－32时，a－2＝－72，2a2＋5a＝－3，符合题意．∴a＝－32.12．解∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．13．证明(1)若a∈A，则11－a∈A.又∵2∈A，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A，∴11－－1＝12∈A.∵12∈A，∴11－12＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，12.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴A不可能为单元素集．-4-1.1.2集合间的基本关系和基本运算一、基础过关1．下列集合中，结果是空集的是()A．{x∈R|x2－1＝0}B．{x|x＞6或x＜1}C．{(x，y)|x2＋y2＝0}D．{x|x＞6且x＜1}2．集合P＝{x|y＝x＋1}，集合Q＝{y|y＝x－1}，则P与Q的关系是()A．P＝QB．PQC．PQD．P∩Q＝∅3．下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅.其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．34．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是()5．已知M＝{x|x≥22，x∈R}，给定下列关系：①π∈M；②{π}M；③πM；④{π}∈M.其中正确的有________．(填序号)6．已知集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若AB，则实数a的取值范围是________．7．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．8．若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B⊆A，求实数a的取值范围．二、能力提升9．适合条件{1}⊆A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是()A．15个B．16个C．31个D．32个10．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是()A．SPMB．S＝PMC．SP＝MD．P＝MS11．已知集合A{2,3,7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．12．已知集合A＝{x|1＜ax＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．-5-三、探究与拓展13．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，B＝{1,2，b}．问是否存在实数a，使得对于任意实数b(b≠1，b≠2)都有A⊆B.若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由．-6-答案1．D2.B3.B4.B5．①②6．a≥27．解A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A.①若B＝∅，则m＋12m－1，解得m2，此时有B⊆A；②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，即m≥2，由B⊆A，得m≥2m＋1≥－22m－1≤5，解得2≤m≤3.由①②得m≤3.∴实数m的取值范围是{m|m≤3}．8．解A＝{－3,2}．对于x2＋x＋a＝0，①当Δ＝1－4a0，即a14时，B＝∅，B⊆A成立；②当Δ＝1－4a＝0，即a＝14时，B＝{－12}，B⊆A不成立；③当Δ＝1－4a0，即a14时，若B⊆A成立，则B＝{－3,2}，∴a＝－3×2＝－6.综上：a的取值范围为a14或a＝－6.9．A10．C11．612．解①当a＝0时，A＝∅，满足A⊆B.②当a＞0时，A＝{x|1a＜x＜2a}．又∵B＝{x|－1＜x＜1}，A⊆B，∴1a≥－1，2a≤1，∴a≥2.③当a＜0时，A＝{x|2a＜x＜1a}．-7-∵A⊆B，∴2a≥－1，1a≤1，∴a≤－2.综上所述，a＝0或a≥2或a≤－2.13．解不存在．理由如下：要使对任意的实数b都有A⊆B，则1,2是A中的元素，又因A＝{a－4，a＋4}，所以a－4＝1，a＋4＝2，或a＋4＝1，a－4＝2.这两个方程组均无解，故这样的实数不存在．-8-基本运算并集与交集一、基础过关1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于()A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{1,2}D．{0}2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩B等于()A．{x|x＜1}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|－1≤x≤1}D．{x|－1≤x＜1}3．若集合A＝{参加伦敦奥运会比赛的运动员},集合B＝{参加伦敦奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加伦敦奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是()A．A⊆BB．B⊆CC．A∩B＝CD．B∪C＝A4．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为()A．x＝3，y＝－1B．(3，－1)C．{3，－1}D．{(3，－1)}5．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N等于()A．{0}B．{0,1}C．{－1,1}D．{－1,0,1}6．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.7．设A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，已知A∩B＝{9}，求A∪B.8．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．二、能力提升9．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()A．0或3B．0或3C．1或3D．1或310．设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝________.11．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1x≤4}，C＝{x|－3x2}且集合A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝________，b＝________.12．已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝∅.求p，q的值．三、探究与拓展13．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x＜－1，或x＞16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．(1)A∩B＝∅；(2)A⊆(A∩B)．-9-答案1．A2.D3.D4.D5.B6．17．解∵A∩B＝{9}，∴