第一章-三角形的初步认识2--讲义

教育学科教师辅导讲义学员姓名：辅导课目：数学年级：七年级学科教师：授课日期及时段课题三角形的初步认识2重点、难点、考点1、三角形的三边和三个角的关系，角平分线、中线、高的应用2、三角形的全等和证明三角形全等学习目标1、知道并学会应用三角形三边和三角的关系，角平分线、中线、高2、知道并学会应用三角形的全等和证明三角形全等教学内容第一章三角形的初步认识21.1认识三角形①由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。“三角形”用符号“△”表示，顶点是ABC的三角形记做“△ABC”读作“三角形ABC”。由两点之间线段最短，可以得到如下性质：三角形任何两边的和大于第三边。②三角形三个内角的和等于180°。三角形按角进行分类：（注意要着重搞清各类三角形的特征。）锐角三角形——三个角都是锐角。三角形直角三角形——有一个角是直角。（记作Rt△ABC）钝角三角形——有一个角是钝角。由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做该三角形的外角。三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。1.2三角形的平分线和中线在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的三角形的平分线。在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。1.3三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，垂足都是直角的顶点。而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。经典例题：1、如下左图，在△ABC中，∠C=30°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于.2、如上中图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC=。3、在ABC中，如上右图，CD平分ACB，BE平分ABC，CD与BE交于点F，若120DFE，则A4、如下左图16，已知∠1=42°，∠2=30°，∠3=38°，则∠4=_________。5、如上右图，△ABC中，AB=AC=13cm，AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,若△EBC的周长为21cm,则BC=cm.6、如右图，用火柴摆上系列图案，按这种方式摆下去，当每边摆10根时(即n=10)时，需要的火柴棒总数为()根A、165B、65C、110D、557、如图，矩形ABCD中(ADAB)，M为CD上一点，若沿着AM折叠，点N恰落在BC上，则∠ANB+∠MNC=____________；ABCDEPABCED第20题ABCDNM8、请你找一个长方形的纸片，按以下步骤进行动手操作：步骤一：在CD上取一点P，将角D和角C向上翻折，这样将形成折痕PM和PN，如下左图所示；步骤二：翻折后，使点D、C落在原长方形所在的平面内，即点D′和C′，细心调整折痕PN、PM的位置使PD′，PC′重合如下右图，设折角∠MPD′=α，∠NPC′=β(1)猜想∠MPN的度数；(2)若重复上面的操作过程，并改变α的大小，猜想：随着α的大小变化，∠MPN的度数怎样变化？并说明你猜想的正确性。1.4全等三角形1、能够重合的两个图形称为全等图形。（能够重合的两个三角形称为全等三角形。）2、两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角。3、“全等”可用符号“≌”来表示。4、全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。【例1】如例图1，△ABD≌△CDB，且AB、CD是对应边，下面四个结论中不正确的是（）A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等C．∠A+∠ABD=∠C+∠CBDD．AD∥BC且AD=BC【分析】由于两个三角形完全重合，故面积周长相等，对应角对应边相等，而∠ABD与∠CBD不是对应角，所以C符号题意．【解】选C．【例2】如例图2，已知△ABC≌△ADE，试找出对应边、对应角．【分析】连结AO，将△ABC沿AO翻折180°，即可得到△ADE，对应元素易找，找对应元素常利用“运动法”来找．a．翻折法：找到中心线，经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素．ABCDPNMABCDPNMC′D′αβb．旋转法：两个三角形绕某一点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素．c．平移法：将两个三角形沿某一直线推移重合时也可找到对应元素．【解】对应角：∠A=∠A、∠B=∠D、∠ACB=∠AED对应边：AB=AD、BC=DE、AC=AE．【例3】如例图3，已知△ACF≌△DBE，∠E=∠F，AD=9cm，BC=5cm，求AB的长．【分析】AB不是全等三角形的对应边，但它通过对应边转化为AB=CD而AB+CD=AD-BC，可利用已知的AD与BC求得．【解】∵△ACF≌△DBE，∴∠E=∠F∴AC-BC=DB-BC，即AB=CD∴AB+CD=2AB=AD-BC=9-5=4（cm）∴AB=2（cm）（例1图）（例2图）（例3图）学生练习：1、如图1，△ABF≌△CDE，则（）A．∠B=∠ECDB．∠A=∠ECD；C．AF=CED．AB=CE（1）（2）（3）2、如图2，在△ABC中，AB=BC=CA，AD=BE=CF，但D、E、F不是AB、BC、CA的中点，又AE、BF、CD分别交于M、N、P．如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形（）A．2组B．3组C．4组D．5组3、如图3，已知△ABC≌△BAD，AC=BD，这两个三角形的对应边是______与______，_____与_____，______与______；对应角是______与_______，______与_____，______与______．4、如图4，△AOB绕O点旋转180°，可以与△COD重合，这表明△______≌△_______，则AB=______，OB=______，OA=_______；∠BAO=_______，∠ABO=_______，∠AOB=________．（4）（5）（6）5、如图5，△ABC≌△ADE，∠B和∠D是对应角，那么根据__________可知AB=_____，AC=______，∠ACB=______．因为BE=AB-______，DC=AD-______，所以BE=____．因为∠BCD=_______-∠ACB，∠BED=_______-∠AED，所以∠BCD=_______．7、如图6，把△ABC沿直线BC平行移动至△DEF，则相等的边是______=______，______=______，______=_______．8、如图，△ABC≌△DEF，AB和DE是对应边，∠A和∠D是对应角，找出图中所有相等的线段和角．9、如图，已知四边形纸片ABCD中，AD∥BC，将△ABC、∠DAB分别对折．如果两条折痕恰好相交于DC上一点E，C和D均落在F点，你能获得哪些结论？10、如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C′，A′B′交AC于D，已知∠A′DC=90°，求∠A的度数．1.5三角形全等的条件①三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）。当三角形三边长确定是，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性，这是三角形特有的性质。②有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。③有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）。有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。角平分线上的一点到角两边的距离相等。【例1】下列判断，其中正确的是（）A．三个角对应相等的两个三角形全等B．周长相等的两个三角形全等C．周长相等的两个等边三角形全等D．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等【分析】A不正确，如图1，两个三角形，三内角分别为30°，60°，90°，显然不全等；B不正确，如两个三角形周长都是60，一个三角形的三边长为20、20、20，另一个三角形三边长为15、20、25，显然不全等；C正确，D如图2，AB=AB、AC=AD，第三边上的高AE相同，显然不全等，故D不正确．【解】选C．（1）（2）（3）【例2】如图，已知AB=AC，AE=AD，BD=CE，说出∠1=∠2成立的理由．【分析】利用全等三角形对应边相等，对应角相等是证明线段或角相等的重要方法，要善于从组合图形中分解出基本图形，会用直观的方法寻找需要说明相等的线段或角所在的一对全等三角形，然后再说出全等的理由．【解】∵BD=CE（已知）∴BD-ED=CE-ED，∴BE=CD在△AEB和△ADC中(ABAC已知)AE=AD(已知)BE=CD∴△AEB≌△ADC（SSS）∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）．【例3】如图，已知：AB=CD，AC=BD，试说明∠A=∠D．【分析】若把∠A、∠D放在△AOB与△COD中，不能直接证明全等，若连结BC，这样已知的两边与公共边BC构成△ABC和△DCB．根据条件两个三角形全等．【解】连结BC在△ABC与△DBC中(ABCD已知)AC=BD(已知)BC=CB(公共边)∴△ABC≌△DCB（SSS）∴∠A=∠D（全等三角形对应角相等）．学生练习：（1）（2）1、如图1，已知AB=CD，AD=BC，说出∠1=∠2的理由．解：在_______和_______中________()________()________()∴____________（）∴∠1=∠2（）2、如图3，已知△ABF≌△DEC，且AC=DF，说明△ABC≌△DEF的理由．解：∵△ABF≌△DEC∴AB=________BF=________又∵BC=BF+_________，EF=CE+________．∴BC=_________．在△ABC与△DEF中（3）________________________∴△ABC≌△DEF（）3、如图4，已知AB=CD，AE=CF，若再满足________，或_______，或△______≌△______就可证明△ABE≌△CDF．4、如图1-5-9，已知AD=BC，OD=OC，O为AB中点，说出△AOD≌△BOC的理由．5、如图，△ABC和△DBC中，AB=CD，AC=BD，AC和DB相交于O，说出∠1=∠2的理由．6、如图，AB=DB，AC=DC，DH⊥BC于H，若∠ABC=65°，求∠BDH的度数．7、如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是AB、CD的中点，且AF=CE，找出图中的全等三角形，并说明理由．