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////江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）2sin15°cos15°=．2．（5分）一组数据1，3，2，5，4的方差是．3．（5分）若x∈（0，1）则x（1﹣x）的最大值为．4．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．5．（5分）两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是．6．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为．7．（5分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=．8．（5分）若tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值是．9．（5分）已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，若2a7﹣a5﹣3=0，则S17的值是．////10．（5分）已知△ABC中，AB=，BC=1，A=30°，则AC=．11．（5分）在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和．若sn=254，则n=．12．（5分）已知{an}是等差数列，a1=1公差d≠0，Sn为其前n项的和，若a1，a2，a5成等比数列，S10=．13．（5分）在锐角△ABC中，sinA=sinBsinC，则tanB+2tanC的最小值是．14．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）已知sinα=．（1）求的值；（2）求的值．16．（14分）已知等差数列{an}中，其前n项和为Sn，a2=4，S5=30．（1）求{an}的首项a1和公差d的值；（2）设数列{bn}满足bn=，求数列{bn}的前项和Tn．17．（14分）某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100]．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）从评分在[40，60）的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率；（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿，试用组中////数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．18．（16分）已知函数f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣2，a∈R．（1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[﹣1，2]，求实数a的值；（2）当a＜0时，解关于x的不等式f（x）≤0．19．（16分）如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建设一仓库，设AB=ykm，并在公路北侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．．（1）求y关于x的函数解析式，并求出定义域；（2）如果中转站四堵围墙造价为10万元/km，两条道路造价为30万元/km，问：x取何值时，该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低．20．（16分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n2﹣4n，数列{bn}中，b1=对任意正整数．（1）求数列{an}的通项公式；////（2）是否存在实数μ，使得数列{3n•bn+μ}是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q的值，若不存在，请说明理由；（3）求证：．////2019-2020学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）2sin15°cos15°=．【解答】解：原式=sin30°=，故答案为：．2．（5分）一组数据1，3，2，5，4的方差是2．【解答】解：=（1+2+3+4+5）÷5=3，S2=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2．故答案为：2．3．（5分）若x∈（0，1）则x（1﹣x）的最大值为．【解答】解：∵x（1﹣x）=﹣，x∈（0，1）∴当x=时，x（1﹣x）的最大值为故答案为：．4．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是9．////【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，故答案为：95．（5分）两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是．【解答】解：设事件A=“灯与两端距离都大于2m”根据题意，事件A对应的长度为6m长的线段位于中间的、长度为2米的部分因此，事件A发生的概率为P（A）==故答案为：////6．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为﹣3．【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线经过点A时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．由，得，此时zmin=1﹣4=﹣3．故答案为：﹣3．7．（5分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=﹣．【解答】解：因为a：b：c=2：3：4，所以设a=2k，b=3k，c=4k，则根据余弦定理得：cosC===﹣．故答案为：﹣8．（5分）若tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值是7．【解答】解：由tanα=﹣2，tan（α+β）=，////得tanβ=tan[（α+β）﹣α]=．故答案为：7．9．（5分）已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，若2a7﹣a5﹣3=0，则S17的值是51．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵2a7﹣a5﹣3=0，∴2（a1+6d）﹣（a1+4d）﹣3=0，化为：a1+8d=3，即a9=3．则S17==17a9=17×3=51．故答案为：51．10．（5分）已知△ABC中，AB=，BC=1，A=30°，则AC=1或2．【解答】解：∵AB=c=，BC=a=1，cosA=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=b2+3﹣3b，解得：b=1或2，则AC=1或2．故答案为：1或211．（5分）在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和．若sn=254，则n=7．【解答】解：由数列{an}中，a1=2，an+1=2an，可知：此数列为等比数列，首项为2，公比为2．又sn=254，∴254=，////化为2n=128，解得n=7．故答案为：7．12．（5分）已知{an}是等差数列，a1=1公差d≠0，Sn为其前n项的和，若a1，a2，a5成等比数列，S10=100．【解答】解：若a1，a2，a5成等比数列，则a1a5=（a2）2，即a1（a1+4d）=（a1+d）2，则1+4d=（1+d）2，即2d=d2，解得d=2或d=0（舍去），则S10==10+90=100，故答案为：100．13．（5分）在锐角△ABC中，sinA=sinBsinC，则tanB+2tanC的最小值是3+2．【解答】解：锐角△ABC中，sinA=sinBsinC，∴sin（B+C）=sinBsinC，即sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC，∴cosBsinC=sinB（sinC﹣cosC），∴sinC=（sinC﹣cosC），两边都除以cosC，得tanC=tanB（tanC﹣1），∴tanB=；////又tanB＞0，∴tanC﹣1＞0，∴tanB+2tanC=+2tanC=+2tanC=1++2（tanC﹣1）+2≥3+2=3+2，当且仅当=2（tanC﹣1），即tanC=1+时取“=”；∴tanB+2tanC的最小值是3+2．故答案为：3+2．14．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则的取值范围为[2，）．【解答】解：a，b，c成等比数列，设==q，q＞0，则b=aq，c=aq2，∴∴，解得＜q＜．则=+=+q，////由f（q）=+q在（，1）递减，在（1，）递增，可得f（1）取得最小值2，由f（）=f（）=，即有f（q）∈[2，）．故答案为：[2，）．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）已知sinα=．（1）求的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵α∈（），sinα=，∴cosα=﹣．∴=sincosα+cossinα=；（2）∵sin2α=2sinαcosα=，cos2α=cos2α﹣sin2α=，∴==．16．（14分）已知等差数列{an}中，其前n项和为Sn，a2=4，S5=30．////（1）求{an}的首项a1和公差d的值；（2）设数列{bn}满足bn=，求数列{bn}的前项和Tn．【解答】解：（1）因为{an}是等差数列，a2=4，S5=30，所以解得a1=2，d=2（2）由（1）知即所以bn==于是数列{bn}的前n项和Tn=b1+b2+b3+…+bn=（1﹣）+（）+…+（）=1﹣=17．（14分）某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100]．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）从评分在[40，60）的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率；（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．////【解答】解：（1）由（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10=1，解得a=0.006．…（4分）（2）设被抽取的2人中恰好有一人评分在[40，50）上为事件A．…（5分）因为样本中评分在[40，50）的师生人数为：m1=0.004×10×50=2，记为1，2号样本中评分在[50，60）的师生人数为：m2=0.006×10×50=3，记为3，4，5号…（7分）所以从5人中任意取2人共有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种等可能情况，2人中恰有1人评分在[40，50）上有：（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5）共6种等可能情况．∴2人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率为P（A）==．…（10分）（3）服务质量评分的平均分为：=45×0.004×10+55×0.006×10+65×0.022×10+75×0.028×10+85×0.022×10+95×0.018×10=76.2．…（13分）∵76.2＞75，∴食堂不需要内部整顿．…（14分）18．（16分）已知函数f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣2，a∈R．（1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[﹣1，2]，求实数a的值；（2）当a＜0时，解关于x的不等式f（x）≤0．////【解答】解：（1）因为不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≤0的解集为[﹣1，2]，所以方程ax2+（a﹣2）x﹣2=0有两根且分别为﹣1，2，所以△=（a﹣2）2﹣4a•（﹣2）≥0且﹣1×2=，解得：a=1；（2）由ax2+（a﹣2）x﹣2≤0，得（x+1）（ax﹣2）≤0，当﹣2＜a＜0时，解集为{x|x≤或x≥﹣1}，当a=﹣2时，解集为R；当a＜﹣2时，解集为{x|x≤﹣1或x≥}．19．（16分）如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的