2012高一数学 2.1.1 指数与指数幂的运算课件 新人教A版必修1

§2.1指数函数2．1.1指数与指数幂的运算学习目标1.理解n次方根及根式的概念．2．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．3．掌握有理数指数幂的运算性质．课堂互动讲练知能优化训练2．1.1课前自主学案课前自主学案温故夯基1．如果x2＝a，那么x叫做a的________；如果x3＝a，那么x叫做a的_________，它们有如下运算性质：(1)a2＝|a|＝a，a≥0－a，a0；(2)(a)2＝__(a≥0)；(3)3a3＝___；(4)(3a)3＝___.平方根立方根aaa2．初中学习过的整数指数幂an(n∈N*)表示的意义为n个a相乘，即a·a·a·…·a＝an(n∈N*)；正整数指数幂具有以下性质：(1)am·an＝______(m，n∈N*)；(2)(am)n＝_____(m，n∈N*)；(3)(ab)n＝_____(n∈N*)．n个aam＋namnanbn知新益能1．方根(1)方根的定义：如果________，那么x叫做a的n次方根，其中_______________.(2)方根的性质：①0的任何次方根都是__，记作______；②当n是奇数时，实数a的n次方根，记作_____，并且有a0时，______；a0时，________；xn＝an＞1，且n∈N*0n0＝0nana＞0na＜0③当n是偶数时，正数a的n次方根有______，它们互为________；其中正的n次方根用符号____表示；负的n次方根用符号______表示．因此，正数a的偶次方根合并写成____________；④负数没有______方根．两个相反数偶次na－na±na(a＞0)2．根式(1)根式的定义：式子_____叫做根式，这里n叫做________，a叫做____________(2)根式的性质：①(na)n＝___(n1，且n∈N*)；②当n为奇数时，nan＝___；当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0－a，a＜0.根指数被开方数．aana3．分数指数幂(1)正数的正分数指数幂的意义是：amn＝______(a0，m，n∈N*，且n1)．(2)正数的负分数指数幂的意义是：a－mn＝______(a0，m，n∈N*，且n1)．(3)0的正分数指数幂是__,0的负分数指数幂__________nam1nam0没有意义．问题探究1．根式一定是无理式吗？提示：根式不一定为无理式，如a＋1为无理式，而x＋12＝|x＋1|为有理式．2．a48＝a12成立吗？提示：不一定．当a≥0时，a48＝a12成立；当a0时，a48有意义，而a12无意义，a48＝a12不成立，故分数指数幂不能随便约分．课堂互动讲练考点突破根式的化简与求值对于根式na的化简与求值是指对a开n次方或者利用性质把根指数减小．例1化简下列各式：(1)5－25；(2)63－π6；(3)4x＋24；(4)7x－77.【思路点拨】解答本题可依据根式的性质nan＝|a|n为大于1的偶数an为大于1的奇数，完成化简．【解】(1)5－25＝－2.(2)63－π6＝6π－36＝π－3.(3)4x＋24＝|x＋2|＝x＋2x≥－2－x－2x－2.(4)7x－77＝x－7.【名师点拨】对于形如nan的化简要分清n的奇偶性及a的正负．根式参与其它代数式的计算时，往往需要转化为分数指数幂的形式．根式与分数指数幂的转化与应用(1)化简：3xy2·xy－1·xy·(xy)－1(xy≠0)；(2)计算：2－12＋－402＋12－1－1－50·823.例2【思路点拨】先化简各个分数指数幂，然后再进行四则运算．【解】(1)原式＝[xy2·(xy－1)12]13·(xy)12·(xy)－1＝x13·y23|x|16|y|－16·|x|－12·|y|－12＝x13·|x|－13＝1x＞0－1x＜0.(2)原式＝12＋12＋2＋1－22＝22－3.【名师点拨】根式化为分数指数幂时，从里向外，依次转化．自我挑战1化简：(a12·3b2)－3÷b－4a－2(a，b＞0)．解：原式＝(a12·b23)－3÷[b－4(a－2)12]12＝a－32·b－2÷(b－2·a－12)＝a－32＋12·b－2＋2＝a－1·b0＝1a.由给出的一个或几个有关指数幂形式的已知等式，通过代数运算求其它形式的指数幂的代数式的值．关于指数幂的条件求值已知a12＋a－12＝3，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a32－a－32a12－a－12.例3【思路点拨】解答本题可从总体上寻求各式与条件a12＋a－12的联系，进而整体代入求值．【解】(1)将a12＋a－12＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.(2)将上式两边平方，有a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47.(3)由于a32－a－32＝(a12)3－(a－12)3，所以有a32－a－32a12－a－12＝a12－a－12a＋a－1＋a12·a－12a12－a－12＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.【名师点拨】条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值．另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件等．整体代入，可以简化解题过程．本题若通过a12＋a－12＝3解出a，再代入求值将非常复杂．互动探究2若将例题中的条件改为已知a2＋a－2＝3，怎样求a＋a－1及a3＋a－3的值？解：∵a2＋a－2＝3，∴(a＋a－1)2－2＝3，∴(a＋a－1)2＝5，∴a＋a－1＝±5.a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝±5×(3－1)＝±25.方法感悟方法技巧1．解决根式的化简问题，首先要先分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式性质进行化简．(如例1)2．为使开偶次方后不出现符号错误，第一步先用绝对值表示开方的结果，第二步再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．(如例1(3)，例2(1))3．一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数、化根式为分数指数幂、化小数为分数运算．同时还要注意运算顺序．(如例2)失误防范(1)对于多重根式的化简，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．(2)在应用分数指数幂的定义时，必须特别注意该定义的应用范围(即定义的条件)：①底数a必须是正实数，即a＞0；②amn及a－mn中的m，n均为正整数且n＞1.