实际问题与二次函数—知识讲解(提高)

实际问题与二次函数—知识讲解（提高）【学习目标】1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．【要点梳理】要点一、列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.要点二、建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．要点诠释：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：①首先必须了解二次函数的基本性质；②学会从实际问题中建立二次函数的模型；③借助二次函数的性质来解决实际问题.【典型例题】类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值1.某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y1(元)与销售月份x(月)满足关系式13368yx，而其每千克成本2y(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示．(1)试确定b，c的值；(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式；(不要求指出x的取值范围)(3)“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?【答案与解析】（1）把(3，25)，(4，24)代入2218yxbxc中，得19325,8116424.8bcbc解方程组得15,859.2bc(2)根据题意，得212311559368882yyyxxx2311559368882xxx21313822xx．所以y与x的函数关系式为21313822yxx．(3)由(2)得，21(6)118yx，因为108a，所以当x＜6时，y随x的增大而增大，所以“五一”之前，四月份出售这种水产品每千克的利润最大，最大利润为10.5元．【点评】在用二次函数知识解决实际问题时，有的同学易忽略自变量的取值范围，有的题目结果中的值看上去有意义，但不一定符合题意，有的题目本身就隐含着对自变量的限制，常常考虑不周而造成错解．举一反三：【变式】某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大？最大值是多少？（总利润总销售额总成本）【答案】（1）设y与x的函数关系式为：ykxb（k≠0），∵函数图象经过点（60，400）和（70，300）∴bkbk7030060400解得100010bk∴100010xy（2）)100010)(50(xxP500001500102xxP（50≤x≤70）∵752015002ab，10a＜0∴函数500001500102xxP图象开口向下，对称轴是直线x=75∵50≤x≤70，此时y随x的增大而增大,∴当x=70时，6000最大值P.类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题2.某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽为4m，顶部距离地面的高度为4.4m，现有一辆满载货物的汽车欲通大门，其装货宽度为2.4m，该车要想过此门，装货后的最大高度应是多少m？【思路点拨】因为校门是抛物线形，不妨将这一问题转化为二次函数进行研究，建立适当的直角坐标系，将已知数据转化为点的坐标，从而确定函数关系式，再根据关系式求高．【答案与解析】解：建立如图平面直角坐标系：设抛物线的解析式为y=ax2，由题意得：点A的坐标为（2，﹣4.4），∴﹣4.4=4a，解得：a=﹣1.1，∴抛物线的解析式为y=﹣1.1x2，当x=1.2时，y=﹣1.1×1.44=﹣1.584，∴线段OB的长为1.584米，∴BC=4.4﹣1.584=2.816米，∴装货后的最大高度为2.816米，故答案为：2.816米．【点评】利用二次函数解决抛物线形建筑问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题3.如图所示，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐，已知篮筐中心到地面的距离为3.05m，若该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?【答案与解析】如图所示，在直角坐标系中，点A(1.5，3.05)表示篮筐，点B(0，3.5)表示球运行的最大高度，点C表示球员篮球出手处，其横坐标为-2.5，设C点的纵坐标为n，过点C、B、A所在的抛物线的解析式为2()yaxhk，由于抛物线开口向下，则点B(0，3.5)为顶点坐标，∴23.5yax．∵抛物线23.5yax经过点A(1.5，3.05)，∴3.05＝a·1.52+3.5，∴15a．∴抛物线解析式为213.55yx．∴21(2.5)3.55n，∴n＝2.25．∴球出手时，球员跳离地面的高度为2.25-(1.8+0.25)＝0.20(米)．【点评】首先要建立适当的平面直角坐标系，构造函数模型，将已知数据转化为点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式，再利用解析式求出抛物线上已知横坐标的点的纵坐标，结合已知条件，得到实际问题的解．类型四、利用二次函数求图形的边长、面积等问题4.一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD．(1)当AD＝4米时，求隧道截面上部半圆O的面积；(2)已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．①求隧道截面的面积S(m)2关于半径r(m)的函数关系式(不要求写出r的取值范围)；②若2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值．(π取3.14，结果精确到0.1米)【思路点拨】①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式；②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值．【答案与解析】(1)2S半圆(米2)；(2)①∵AD＝2r，AD+CD＝8，∴CD＝8-AD＝8-2r，∴2221112(82)416222SrADCDrrrrr．②由①知，CD＝8-2r，又∵1.2米≤CD≤3米，∴2≤8-2r≤3，∴2.5≤r≤3．由①知，214162Srr228642.43162.4342.432.43rr≈．∵-2.43＜0，∴函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴83.32.43r≈，又2.5≤r≤3，由函数图象知，在对称轴左侧S随r的增大而增大，故当r＝3时，S有最大值．21431632S最大13.14494826.12≈≈(米2)．【点评】解此类问题，一般先应用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方法或公式法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积．举一反三：【变式】如图，矩形纸片ABCD，AD=8，AB=10，点F在AB上，分别以AF、FB为边裁出的两个小正方形纸片面积和S的取值范围是．【答案】50≤S≤68．【解析】解：设AF=x，则BF=10﹣x，由题意，得S=x2+（10﹣x）2，S=2x2﹣20x+100，S=2（x﹣5）2+50．∴a=2＞0，∴x=5时，S最小=50．∵2≤x≤8，当x=2时，S=68，当x=8时，S=68．∴50≤S≤68．故答案为：50≤S≤68．