规范答题示例7

规范答题示例7直线与圆锥曲线的位置关系典例7(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，且点3，12在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：x24a2＋y24b2＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.①求|OQ||OP|的值；②求△ABQ面积的最大值.审题路线图(1)椭圆C上点满足条件―→得到a，b的关系式基本量法求得椭圆C的方程(2)①P在C上，Q在E上――――→P，Q共线设坐标代入方程―→求出|OQ||OP|②直线y＝kx＋m和椭圆E的方程联立――――→通法研究判别式Δ并判断根与系数的关系―→用m，k表示S△OAB―→求S△OAB的最值―――――――――――――――→利用①得S△ABQ和S△OAB的关系得S△ABQ的最大值22232eabc已知离心率规范解答·分步得分解(1)由题意知3a2＋14b2＝1.又a2－b2a＝32，解得a2＝4，b2＝1.所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.2分(2)由(1)知椭圆E的方程为x216＋y24＝1.①设P(x0，y0)，|OQ||OP|＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0).因为x204＋y20＝1，又－λx0216＋－λy024＝1，即λ24x204＋y20＝1，所以λ＝2，即|OQ||OP|＝2.5分②设A(x1，y1)，B(x2，y2).将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2，(*)则x1＋x2＝－8km1＋4k2，x1x2＝4m2－161＋4k2.所以|x1－x2|＝416k2＋4－m21＋4k2.因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，所以△OAB的面积S＝12|m||x1－x2|＝216k2＋4－m2|m|1＋4k2＝216k2＋4－m2m21＋4k2＝24－m21＋4k2m21＋4k2.8分设m21＋4k2＝t，将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.(**)由(*)(**)可知0＜t≤1，因此S＝24－tt＝2－t2＋4t，故0S≤23，当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值23.由①知，△ABQ的面积为3S，所以△ABQ面积的最大值为63.12分构建答题模板第一步求圆锥曲线方程：根据基本量法确定圆锥曲线的方程.第二步联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立得到方程：Ax2＋Bx＋C＝0，然后研究判别式，利用根与系数的关系.第三步找关系：从题设中寻求变量的等量或不等关系.第四步建函数：对范围最值类问题，要建立关于目标变量的函数关系.第五步得范围：通过求解函数值域或解不等式得目标变量的范围或最值，要注意变量条件的制约，检查最值取得的条件.评分细则(1)第(1)问中，求a2－c2＝b2关系式直接得b＝1，扣1分；(2)第(2)问中，求时，给出P，Q的坐标关系给1分；无“Δ0”和“Δ≥0”者，每处扣1分；联立方程消元得出关于x的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分；求最值时，不指明最值取得的条件扣1分.|OQ||OP|跟踪演练7(2017·全国Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x22＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP→＝2NM→.解答(1)求点P的轨迹方程；证明(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP→·PQ→＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.本课结束更多精彩内容请登录：