数值分析整理版试题及答案

1例1、已知函数表x-112()fx-304求()fx的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。解：（1）由题可知kx-112ky-304插值基函数分别为1200102121()1211126xxxxxxlxxxxxxx0211012121()1211122xxxxxxlxxxxxxx0122021111()1121213xxxxxxlxxxxxxx故所求二次拉格朗日插值多项式为2202()11131201241162314121123537623kkkLxylxxxxxxxxxxxxx（2）一阶均差、二阶均差分别为2010101121212011201202303,11204,41234,,52,,126fxfxfxxxxfxfxfxxxxfxxfxxfxxxxx均差表为kx()kfx一阶二阶-1-3103/22445/6故所求Newton二次插值多项式为20010012012,,,35311126537623Pxfxfxxxxfxxxxxxxxxxxx例2、设2()32fxxx，[0,1]x，试求()fx在[0,1]上关于()1x，span1,x的最佳平方逼近多项式。解：若span1,x，则0()1x，1()xx，且()1x，这样，有112001100112011000012101,11,,3123,,,,32269,324dxxdxxdxfxxdxfxxxdx所以，法方程为01123126119234aa，经过消元得01231162110123aa再回代解该方程，得到14a，0116a3故，所求最佳平方逼近多项式为*111()46Sxx例3、设()xfxe，[0,1]x，试求()fx在[0,1]上关于()1x，span1,x的最佳平方逼近多项式。解：若span1,x，则0()1x，1()xx，这样，有100012110101100100110,111,31,,2,1.7183,1xxdxxdxxdxfedxfxedx所以，法方程为01111.7183211123aa解法方程，得到00.8732a，11.6902a，故，所求最佳平方逼近多项式为*1()0.87321.6902Sxx例4、用4n的复合梯形和复合辛普森公式计算积分91xdx。解：（1）用4n的复合梯形公式由于2h，fxx，121,2,3kxkk，所以，有94131[129]22[123579]217.2277kkxdxThffxf4（2）用4n的复合辛普森公式由于2h，fxx，121,2,3kxkk，12220,1,2,3kxkk，所以，有941331012[1429]61[14246823573]317.3321kkkkxdxShffxfxf例5、用列主元消去法求解下列线性方程组的解。123123123123315183156xxxxxxxxx解：先消元1212331518311511161831151233151116rrAb212131312332322,31,186,7183115017350761718316183115076171831601735183107617100mmmmrrmm第1行（）第2行第2行第1行（）第3行第3行第2行（）第3行第3行158316227667再回代，得到33x，22x，11x所以，线性方程组的解为11x，22x，33x例6、用直接三角分解法求下列线性方程组的解。5123123123111945611183451282xxxxxxxxx解：设1112132122233132331114561001111003451001122uuuAluuLUllu则由ALU的对应元素相等，有1114u，1215u，1316u，2111211433lul，311131122lul，2112222211460luuu，2113232311545luuu，3112322232136lulul，31133223333313215luluuu因此，111100456411100360452361130015ALU解Lyb，即12310094108382361yyy，得19y，24y，3154y解Uxy，即123111456911046045154130015xxx，得3177.69x，2476.92x，1227.08x所以，线性方程组的解为1227.08x，2476.92x，3177.69x6１、若A是nn阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵U，使LUA唯一成立。（）２、当8n时，Newton－cotes型求积公式会产生数值不稳定性。（）3、形如)()(1iniibaxfAdxxf的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为12n。（）４、矩阵210111012A的２－范数2A＝９。（）5、设aaaaA000002，则对任意实数0a，方程组bAx都是病态的。（用）（）6、设nnRA，nnRQ，且有IQQT（单位阵），则有22QAA。（）7、区间ba,上关于权函数)(xW的直交多项式是存在的，且唯一。（）1、（Ⅹ）2、（∨）3、（Ⅹ）4、（∨）5、（Ⅹ）6、（∨）7、（Ⅹ）8、（Ⅹ）一、判断题（10×1′）1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。(×)2、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。()3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式),...,2,1(1niaanijjijii则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。(×)4、样条插值一种分段插值。()5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。()6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。()7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。(×)78、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。(×)9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差。()10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。(×)1.用计算机求1000100011nn时，应按照n从小到大的顺序相加。（）2.为了减少误差,应将表达式20011999改写为220011999进行计算。（对）3.用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。（）4.用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。（）复习试题一、填空题：1、410141014A，则A的LU分解为A。答案：15561415014115401411A2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(fff，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得31_________)(dxxf,用三点式求得)1(f。答案：2.367，0.253、1)3(,2)2(,1)1(fff，则过这三点的二次插值多项式中2x的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2xxxxxxxL4、近似值*0.231x关于真值229.0x有(2)位有效数字；85、设)(xf可微,求方程)(xfx的牛顿迭代格式是()；答案)(1)(1nnnnnxfxfxxx6、对1)(3xxxf,差商]3,2,1,0[f(1),]4,3,2,1,0[f(0)；7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；8、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为(12nab)；10、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为(0.15)；11、两点式高斯型求积公式10d)(xxf≈(10)]3213()3213([21d)(ffxxf)，代数精度为(5)；12、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)。13、为了使计算32)1(6)1(41310xxxy的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10xtttty，为了减少舍入误差，应将表达式19992001改写为199920012。14、用二分法求方程01)(3xxxf在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为0.5，1,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75。15、计算积分15.0dxx,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268，用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309，梯形公式的代数精度为1，辛卜生公式的代数精度为3。16、求解方程组042.01532121xxxx的高斯—塞德尔迭代格式为20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx，该迭9代格式的迭代矩阵的谱半径)(M=121。17、设46)2(,16)1(,0)0(fff,则)(1xl)2()(1xxxl，)(xf的二次牛顿插值多项式为)1(716)(2xxxxN。18、求积公式baknkkxfAxxf)(d)(0的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有(12n)次代数精度。19、已知f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求积公式求51d)(xxf≈(12)。20、设f(1)=1，f(2)=2，f(3)=0，用三