利用补集思想巧解题

1利用补集思想巧解题甘肃省嘉峪关市第二中学（735103）彭长军对于从正面求解或思路不畅或需分类讨论的一类数学问题，若能用补集思想求解，则可使问题变得简单易解，会收到意想不到的效果。利用补集思想求解时可先从结论的反面出发，得出反面结论后，再从整个情况（全集）中除去反面结论（补集），便得所求结果，下面举几例说明。例1.设A={x︱x2+(p+2)x+1=0},若A∩R+=Φ,求实数p的范围.分析：由A∩R+=Φ可知方程x2+(p+2)x+1=0无正实数根，于是，正面求解时要分以下两类：①方程无实数根；②在方程有实数根时，两根都为负数或都为0或一个为负数，另一个为0,情况比较复杂.因此，适合用补集思想求解.解：由A∩R+=Φ可知方程x2+(p+2)x+1=0①无正实数根，令f(x)=x2+(p+2)x+1，则当方程①有正实数根时，由于f(0)=10，所以必有0202p，即2(2)4020{pp，解之得p≦-4，故当p-4时，A∩R+=Φ.例2．若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线，则实数m满足()A.m≠1B.m≠-32C.m≠0D.m≠1且m≠-32且m≠0分析：方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示直线2m2+m-3和m2-m不全为零，于是，正面求解时要分以下三类：①2m2+m-3=0且m2-m≠0；②m2-m=0且2m2+m-3≠0；③2m2+m-3≠0且m2-m≠0.因此，适合用补集思想求解.解：∵当2m2+m-3=0,且m2-m=0,即m=1时，方程2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0不表示直线，∴当m≠1时，方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线，故选A.2例3.求二项式(yx153)15的展开式中所有无理系数的和分析：因为二项式(yx153)15的展开式中所有项的系数之和为(15311)15=(1315)15，而展开式中有理系数容易由通项公式Tr+1=(-1)rCr1531515rx15-ryr确定，因此，只需从所有项的系数之和中减去所有有理系数之和即为所求.解：由通项公式Tr+1=(-1)rCr1531515rx15-ryr可知，二项展开式中有理系数项只有两项(-1)0C0153x15y0和(-1)15C151530x0y15，即3x15和-y15，其系数之和为3+（-1）=2.又在二项式(yx153)15中令x=y=1，得展开式中所有各项的系数和为(1315)15.故展开式中所有无理系数之和为(1315)15-2.例4.方程x2-ax+4=0,x2+(a-1)x+16=0,x2+2ax+3a+10=0中至少有一个有实根，求实数a的取值范围.分析：方程x2-ax+4=0,x2+(a-1)x+16=0,x2+2ax+3a+10=0中至少有一个有实根包括以下三种情况：①三个方程中只有一个有实数根；②三个方程中恰有两个有实数根；③三个方程都有实数根.而①②两种情况各自又有三种情况，因此，正面求解不但要分类，而且是两级分类，情况复杂，适合用补集思想求解.解：∵三个方程均无实数根的条件为212223=a-160(1)640412400aaa，即447925aaa-2a4.∴所求a的范围为2,∪,4例5.关于x的不等式2x+1xa的解集为Φ，则a的取值范围是()(A)(3,+∞)(B),3(C)3,(D)(-∞,3)解：当不等式2x+1xa的解集为R时，a2x+1x≥)1()2(xx=3,所以当不等式的解集为Φ时，a≤3.故选(C).例6.m为什么实数时，方程sin2x-sinx+m=0无实根.3解：原方程可化为41-m=(sinx-21)2，若方程有实根，则-1≦sinx≦1,∴0≦(sinx-21)2≤49,即0≤41-m≤49，由此可得-2≤m≤41.∴当m-2或m41时方程无实根.例7.若椭圆2222kyx（k0）与连结A(1,2),B(3,4)两点的线段没有公共点，求实数k的取值范围。解：易知线段AB的方程为y=x+1(1≦x≦3),代入方程2222kyx，并整理得k2=12232xx(1≤x≤3)②.当线段AB与椭圆有公共点时，方程②在[1，3]上有实数解，由1≤x≤3得29≤12232xx≤421，即29≤2k≤421，而k0,∴282223k，即当282223k时，线段AB与椭圆有公共点，故当0k223或k282时，线段与椭圆没有公共点。例8.如果二次函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的公共点至少有一个在原点的右侧，求m的取值范围.分析：由f(0)=10，可知二次函数的图象不经过坐标原点，所以二次函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的公共点至少有一个在原点的右侧①抛物线与x轴相交于两点，且其中一个交点在坐标原点的左侧，另一个在坐标原点的右侧；②抛物线于x轴相切，切点在坐标原点的右侧；③抛物线与x轴相交于两点且这两点都在原点的右侧.因此可用补集思想求解.解：由二次函数的图象与x轴有公共点，得20340（）mmm，即4201090mmm,解之得，m∈,91,00,，此即为全集I.又由f(0)=10，可知二次函数的图象不经过坐标原点，因此，当图象与x轴的正半轴没有公共点时，交点必在原点的左则，此时m满足20302(3)40mmmmm，即200m31090mmmm或，解之得，m∈,9,此即为A的补集A。故所求m的集合A=(-∞,0)∪1,0，即当m≤1且m≠0时二次函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧.例9.已知椭圆4)(422ayx与抛物线yx22没有共公点，则实数a的取值范围是_______解：由4)(422ayx，可设sin,cos2ayx代入yx22得24cos=2(sin)a，∴817)41(sin2sincos222a若椭圆4)(422ayx与抛物线yx22有共公点，则1sin，即1sin1∴8171a.故当a-1或a817时椭圆4)(422ayx与抛物线yx22没有共公点例10.若抛物线y=x2上不存在关于直线y=m(x-3)对称的两点，求m的取值范围.思路：先求出抛物线y=x2上存在关于直线y=m(x-3)对称的两点时的m的取值范围，然后取其补集即可.解法1：（1）当时，y=0,显然曲线上不存在关于直线对称的两点。5(2)当m≠0时，假设抛物线y=x2上存在关于直线y=m(x-3)对称的两点P(1x,1y)、Q(2x,2y)(1x≠2x)，则直线PQ的方程可设为y=1mx+n,将其代入抛物线，得mx2-x-mn=0,∴1x+2x=1m,1x2x=n,∴1y+2y=1m(1x+2x)+2n=21m+2n,∴PQ的中点为M（12m，212m+n）.由M（12m，212m+n）在直线y=m(x-3)上，得212m+n=12-3m,即n=12-3m-212m.由M在抛物线y=x2内，知212m+n21()2m,即n-214m，∴12-3m-212m-214m，即12m3+2m2+10(2m+1)(6m2-2m+1)0,而6m2-2m+10恒成立，∴2m+10,解之得m-12.故当m-12，且m≠0时,抛物线y=x2上不存在关于直线y=m(x-3)对称的两点.由（1）（2），知m的取值范围1,2。解法2：（1）当时，y=0,显然曲线上不存在关于直线对称的两点。(2)当m≠0时，假设抛物线y=x2上存在关于直线y=m(x-3)对称的两点P(1x,1y)、Q(2x,2y)(1x≠2x)，则1y=21x，2y=22x.两式相减，得1y-2y=21x-22x，即1y-2y=(1x+2x)(1x+2x).设这PQ的中点为M（a，b），则1y-2y=2a(1x-2x),∴kPQ=1212yyxx=2a.由直线PQ与直线y=m(x-3)垂直，知2a=-1m①；由M（a，b）在直线y=m(x-3)上，知b=m(a-3)②.又由M在抛物线y=x2内，知ba2③.6由①②③,得12m3+2m2+10,解之得m-12.故当m-12，且m≠0时,抛物线y=x2上不存在关于直线y=m(x-3)对称的两点.由（1）（2），知m的取值范围1,2.跟踪练习：1.已知集合A={x|x2-2x≦0}，B={x|xa}.若A∩B≠Φ，则实数a的取值范围是（）(A){a|a0}(B){a|a≦2}(C){a|a≧0}(D){a|0≦a≦2}2.已知三条抛物线y=x2-x+m,y=x2+2mx+4,y=mx2+mx+m-1中至少有一条与x轴相交，试求实数m的取值范围3.已知直线L过点P(-1,2)，且与以A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段没有公共点，求直线L的斜率k的取值范围参考答案：1.（A）；2.m≦34且m≠0或m≧2；3.k∈(-5,21)。