概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理

2010-2011学年第一学期期末复习资料概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散随机变量。2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)PXxpPXxpp，则称X服从12,xx处参数为p的两点分布。两点分布的概率分布：12{},{}1(01)PXxpPXxpp两点分布的期望：()EXp；两点分布的方差：()(1)DXpp（2）二项分布：若一个随机变量X的概率分布由式{}(1),0,1,...,.kknknPxkCppkn给出，则称X服从参数为n,p的二项分布。记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.kknknPxkCppkn二项分布的期望：()EXnp；二项分布的方差：()(1)DXnpp（3）泊松分布：若一个随机变量X的概率分布为{},0,0,1,2,...!kPXkekk，则称X服从参数为的泊松分布，记为X~P()泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kPXkekk泊松分布的期望：()EX；泊松分布的方差：()DX4.连续型随机变量：如果对随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数()fx，使得对于任意实数x，有(){}()xFxPXxftdt，则称X为连续型随机变量，称()fx为X的概率密度函数，简称为概率密度函数。2010-2011学年第一学期期末复习资料5.常用的连续型分布：（1）均匀分布：若连续型随机变量X的概率密度为其它,0,1)(bxaabxf，则称X在区间（a,b）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度：其它,0,1)(bxaabxf均匀分布的期望：()2abEX；均匀分布的方差：2()()12baDX（2）指数分布：若连续型随机变量X的概率密度为00()0xexfx，则称X服从参数为的指数分布，记为X~e()指数分布的概率密度：00()0xexfx指数分布的期望：1()EX；指数分布的方差：21()DX（3）正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为22()21()2xfxex则称X服从参数为和2的正态分布，记为X~N(,2)正态分布的概率密度：22()21()2xfxex正态分布的期望：()EX；正态分布的方差：2()DX（4）标准正态分布：20,1，222211()()22xtxxexedt标准正态分布表的使用：（1）0()1()xxx2010-2011学年第一学期期末复习资料（2）~(0,1){}{}{}{}()()XNPaxbPaxbPaxbPaxbba（3）2~(,),~(0,1),XXNYN故(){}{}()XxxFxPXxP{}{}()()abbaPaXbPY定理1：设X~N(,2),则~(0,1)XYN6.随机变量的分布函数：设X是一个随机变量，称(){}FxPXx为X的分布函数。分布函数的重要性质：12212112120()1{}{}{}()()()()()1,()0FxPxXxPXxPXxFxFxxxFxFxFF7.求离散型的随机变量函数、连续型随机变量函数的分布（1）由X的概率分布导出Y的概率分布步骤：①根据X写出Y的所有可能取值；②对Y的每一个可能取值iy确定相应的概率取值；③常用表格的形式把Y的概率分布写出（2）由X的概率密度函数（分布函数）求Y的概率密度函数（分布函数）的步骤：①由X的概率密度函数()Xfx随机变量函数Y=g(X)的分布函数()YFy②由()YFy求导可得Y的概率密度函数（3）对单调函数，计算Y=g(X)的概率密度简单方法：定理1设随机变量X具有概率密度()(,)Xfxx，又设y=g(x)处处可导且恒有'()0gx（或恒有'()0gx），则Y=g(X)是一个连续型随机变量，其概率密度为'[()]|()|,()0Yfhyhyyfy；其中()xhy是y=g(x)的反函数，且min((),()),max((),())gggg练习题：2.4第7、13、142010-2011学年第一学期期末复习资料总习题第3、6、9、10、11、13、14、17、18、19第三章重要知识点：1.离散型二维随机变量X与Y的联合概率分布表：YX1y2y…jy…{}iPXx1x11p12p…1jp…1jjp2x21p22p…2jp…2jjp.....................ix1ip2ip…ijp…ijjp.....................{}jPYy1iip2iip…ijip…1（1）要会由X与Y的联合概率分布，求出X与Y各自概率分布或反过来；类似P63例2（2）要会在X与Y独立的情况下，根据联合概率分布表的部分数据，求解其余数据；类似P71例3（3）要会根据联合概率分布表求形如{,}PaXbcYd的概率；（4）要会根据联合概率分布律之类求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。2.二维连续型随机变量X与Y的联合概率密度:设（X,Y）为二维随机变量，F(x,y)为其分布函数，若存在一个非负可积的二元函数f(x,y),使对任意实数（x,y），有(,)(,)yxFxyfstdsdt，则称（X,Y）为二维连续型随机变量。(1)要会画出积分区域使得能正确确定二重积分的上下限；(2)要会根据联合概率密度求出相应的分布函数F(x,y)，以及形如{}PXY等联合概率值;P64例3(3)要会根据联合概率密度求出,xy的边缘密度;类似P64例4(4)要会根据联合概率密度求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。3.联合概率分布以及联合密度函数的一些性质：2010-2011学年第一学期期末复习资料（1）1ijijp；（2）(,)1fxydxdy要会根据这些性质解类似P68第5，6题。4.常用的连续型二维随机变量分布二维均匀分布：设G是平面上的有界区域，其面积为A。若二维随机变量（X,Y）具有概率密度函数1(,)(,)0AxyGfxy，则称（X,Y）在G上服从均匀分布。5.独立性的判断：定义：设随机变量（X,Y）的联合分布函数为F(x,y),边缘分布函数为()XFx，()YFy，若对任意实数x,y，有{,}{}{}PXxYyPXxPYy（1）离散型随机变量的独立性：①由独立性的定义进行判断；②所有可能取值(,)ijxy，有(,)()()ijijPXxYyPXxPYy，..ijijppp则X与Y相互独立。（2）连续型随机变量的独立性：①由独立性的定义进行判断；②联合概率密度(,)fxy，边缘密度()Xfx，()Yfy,xy有(,)()()XYfxyfxfy几乎处处成立,则X与Y相互独立。(3)注意与第四章知识的结合X与Y相互独立()()()()()()(,)00XYEXYEXEYDXYDXDYCovXY因此()()()()()()(,)00XYEXYEXEYDXYDXDYCovXYX与Y不独立。6．相互独立的两个重要定理定理1随机变量X与Y相互独立的充要条件是X所生成的任何事件与Y生成的任何事件独立，即，对任意实数集A，B，有{,}{}{}PXAYBPXAPXB2010-2011学年第一学期期末复习资料定理2如果随机变量X与Y独立，则对任意函数1()gx，2()gy相互独立。（1）要求会使用这两个定理解决计算问题练习题：习题2-3第3、4题习题2-4第2题习题3.2第5，7，8题总习题三第4，9（1）-（4），12,13第四、五章知识点设总体密度函数如下，12,,...nxxx是样本，试求未知参数的矩估计值，最大似然估计值。1(;,),,0xpxex（1）0022222220000111()11111()()222xttxttttEXxedxtedtedtEXxedxtedttedttedtedt222()()[()]DXEXEX，由此可推出(),()()DXEXDX，从而参数，的矩估计值为,sxs（2）似然函数为：(1)111()()exp{()},nniiLxx其对数似然函数为：1()ln(,)lnniixLn由上式可以看出，ln(,)L是的单调增函数，要使其最大，的取值应该尽可能的大，由于限制(1)x，这给出的最大似然估计值为(1)x将ln(,)L关于求导并令其为0得到关于的似然方程12()ln(,)0niixdLnd，解得1(1)()niixxxn2010-2011学年第一学期期末复习资料第四章重要知识点：1.随机变量X数学期望的求法：（1）离散型1()iiiEXxp；（2）连续型()()EXxfxdx2.随机变量函数g(X)数学期望的求法：（1）离散型1()()iiiEXgxp；（2）连续型()()()EXgxfxdx3.二维随机向量期望的求法：（1）离散型11[(,)](,)ijijjiEgXYgxyp；（2）连续型[(,)](,)(,)EgXYgxyfxydxdy4.随机变量X方差的求法：（1）简明公式222()[()]()()DXEXEXEXEX（2）离散型21()[()]iiiDXxEXp（3）连续型2()[()]()DXxEXfxdx5.随机变量X协方差与相关系数的求法：（1）简明公式(,){[()]}{[()]}()()()CovXYEXEXYEYEXYEXEY（2）离散型,(,)[()][()]ijijijCovXYxEXyEYp（3）连续型(,)[()][()](,)CovXYxEXyEYfxydxdy（4）(,)()()XYCovXYDXDY6.数学期望、方差、协方差重要的性质：(1)1212()()()EXXEXEX(2)设X与Y相互独立，则()()()EXYEXEY(3)()()()2{[()][()]}()()2(,)DXYDXDYEXEXYEYDXDYCovXY若X与Y相互独立，则()()()DXYDXDY2010-2011学年第一学期期末复习资料(4)2()()DCXCDX(5)1212(,)(,)(,)CovXXYCovXYCovXY（6）(,)(,)CovaXbYabCovXY若X与Y相互独立，则(,)0CovXY(7)若（X,Y）服从二维正态分布，则X与Y相互独立，当且仅当0XY7.n维正态分布的几个重要性质：（1）n维正态变量（12,,...,nXXX）的每个分量iX（1,2,...in）都是正态变量，反之，若12,,...,nXXX都是正态变量，且相互独立，则（12,,...,nXXX）是n维正态变量。（2）n维随机向量（12,,...,nXXX）服从n维正态分布的充分必要条