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4．1比例线段第3课时比例中项1．(4分)已知三条线段a，b，c中，有c2＝ab，则称c是a，b的比例中项，若a＝2，b＝8，则a，b的比例中项c的值为()A．4B．±4C．±16D．162．(4分)如图所示，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB＝BCAC，那么称线段AB被点C黄金分割，AC与AB的比叫做黄金比，其比值是()A.5－12B.3－52C.5＋12D.3＋52AA3．(4分)若x是a，b的比例中项，则下列式子错误的是()A．x2＝abB.ax＝xbC.bx＝xaD．ab＝x4．(4分)如果a∶b＝12∶8，且b是a和c的比例中项，那么b∶c等于()A．4∶3B．3∶2C．2∶3D．3∶4DB5．(4分)已知线段AB＝10cm，点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，则AC的长为()A．(55－10)cmB．(15－55)cmC．(55－5)cmD．(10－25)cm6．(4分)如图所示，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形较美观，若黄金比取0.618，则x为()A．222B．138C．139D．108CB7．(4分)如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割比．已知AB＝10cm，则AC的长约为____cm.(结果精确到0.1cm)8．(4分)0.618是黄金分割比，当环境温度与人的正常体温(36.5℃)的比值等于黄金分割比时，机体的新陈代谢、生理功能均处于最佳状态，则环境温度为时，人感到最舒适．(精确到0.1℃)6.222.6℃9．(10分)(1)已知a＝4，c＝9，若b是a，c的比例中项，求b的值．(2)已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB＝4cm，CD＝5cm，求MN的长，并思考两题有何区别？解：(1)∵b是a，c的比例中项，∴a∶b＝b∶c，∴b2＝ac，b＝±ac，∵a＝4，c＝9，∴b＝±36＝±6，即b＝±6；(2)∵MN是线段，∴MN＞0；∵线段MN是AB，CD的比例中项，∴AB∶MN＝MN∶CD，∴MN2＝AB·CD，∴MN＝±AB·CD；∵AB＝4cm，CD＝5cm，∴MN＝±20＝±25，MN不可能为负值，则MN＝25cm，通过解答(1)，(2)发现，b，MN同时作为比例中项出现，b可以取负值，而MN不可以取负值．10．(8分)一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能好看？(结果精确到1cm，参考数据：黄金分割比为5－12，5≈2.236)解：设应该穿xcm的鞋子，由题意，得6595＋x＝5－12，解得x≈10(cm)．11．(6分)如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD到点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形，点G在边CD上，则DG的长为()A.3－1B．3－5C.5＋1D.5－1D12．(6分)如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1____S2.(填“＞”“＝”或“＜”)＝13．(12分)如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2(5－1)，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，试说明点D是线段AC的黄金分割点．解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠C＝∠ABC＝180°－36°2＝72°.∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝36°，∴∠CDB＝180°－72°－36°＝72°＝∠C，∠A＝∠ABD＝36°，∴BC＝BD＝AD＝2(5－1)，∴ADAC＝2（5－1）4＝5－12，CDAD＝AC－ADAD＝4－2（5－1）2（5－1）＝5－12，∴CDAD＝ADAC，故点D是线段AC的黄金分割点．14．(12分)如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形的纸片ABCD，先折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′＝EB.类似地，在AB上折出点B″使AB″＝AB′.这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．证明：设正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE＝1，∴AE＝AB2＋BE2＝5.又∵B′E＝BE＝1，∴AB′＝AE－B′E＝5－1.又∵AB″＝AB′＝5－1，∴AB″∶AB＝(5－1)∶2，∴点B″是线段AB的黄金分割点．15．(14分)若一个矩形的短边与长边的比值为5－12(黄金分割数)，我们把这样的矩形叫做黄金矩形．(1)操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD(AB＞AD)中，以短边AD为一边作正方形AEFD；(2)探究：在(1)中得到的四边形EBCF是不是黄金矩形？请说明理由；(3)归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论．(不需要说明原因)解：(1)在AB和DC上分别截取AE＝DF＝AD，连结EF，如图所示，则四边形AEFD就是所求作的正方形(2)四边形EBCF是黄金矩形．理由：因为四边形AEFD是正方形，所以∠AEF＝90°，∠BEF＝90°，所以四边形EBCF是矩形．设CD＝a，AD＝b，则ba＝5－12，所以CFEF＝a－bb＝ab－1＝25－1－1＝5－12，所以矩形EBCF是黄金矩形．(3)在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后，所得到的另外一个矩形是黄金矩形．