《二次函数综合应用》

二次函数考题类型及解析考点一二次函数的定义1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式．2．二次函数的三种基本形式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标是(h，k)；(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标．考点二二次函数的图象和性质二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)函数a0a0图象开口抛物线开口向上，并向上无限延伸抛物线开口向下，并向下无限延伸对称轴、顶点对称轴是x＝－b2a，顶点坐标是－b2a，4ac－b24a增减性在对称轴的左侧，即当x＜－b2a时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x＞－b2a时，y随x的增大而增大，简记为“左减右增”在对称轴的左侧，即当x＜－b2a时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x＞－b2a时，y随x的增大而减小，简记为“左增右减”最值抛物线有最低点，当x＝－b2a时，y有最小值，y最小值＝4ac－b24a抛物线有最高点，当x＝－b2a时，y有最大值，y最大值＝4ac－b24a考点三二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与系数a，b，c的关系项目字母字母的符号图象的特征a＞0开口向上aa＜0开口向下b＝0对称轴为y轴ab＞0(a与b同号)对称轴在y轴左侧bab＜0(a与b异号)对称轴在y轴右侧c＝0经过原点c＞0与y轴正半轴相交cc＜0与y轴负半轴相交b2－4ac＝0与x轴有唯一交点(顶点)b2－4ac＞0与x轴有两个交点b2－4acb2－4ac＜0与x轴没有交点温馨提示：当x＝1时，y＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝a－b＋c.若a＋b＋c＞0，即当x＝1时，y＞0；若a－b＋c＞0，即当x＝－1时，y＞0.考点四二次函数图象的平移任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：温馨提示：二次函数图象间的平移可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函数图象间的平移.考点五二次函数解析式的求法1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为一般式．3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a的值，最后将解析式化为一般式．温馨提示：1.给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.2.一般式、顶点式、交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化.将顶点式、交点式去括号、合并同类项就可转化为一般式；把一般式配方、因式分解就可转化为顶点式或交点式.3.二次函数y＝ax－x1x－x2的对称轴为x＝x1＋x22.考点六二次函数的应用1．二次函数的应用包括以下两个方面(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)；(2)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)应用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．考点一求抛物线的顶点、对称轴、最值例1抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标为________．【点拨】方法一：配方，得y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，则顶点坐标为(1,2)．方法二：代入公式x＝－b2a＝－－22×1＝1，y＝4ac－b24a＝4×1×3－224×1＝2，则顶点坐标为(1,2)．【答案】(1,2)方法总结：解决此类题目可以先把二次函数y＝ax2＋bx＋c配方为顶点式y＝ax－h2＋k的形式，得到：对称轴是x＝h，最值为y＝k，顶点坐标为h，k；也可以直接利用公式求解.考点二二次函数的图象与性质及函数值的大小比较例2二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1x21，则y1与y2的大小关系是()A.y1≤y2B．y1y2C．y1≥y2D．y1y2【点拨】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大．∵x1x21，∴y1y2.故选B.【答案】B方法总结：当二次函数的解析式与已知点的坐标中含有未知字母时，可以用如下方法比较函数值的大小：1用含有未知字母的代数式表示各函数值，然后进行比较；2在相应的范围内取未知字母的特殊值，采用特殊值法求解；3根据二次函数的性质，结合函数图象比较.考点三二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数a，b，c的关系例3已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4【点拨】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确；由对称轴x＝－b2a－1可得2a－b＜0，故②正确；由图象上横坐标为x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；由图象上横坐标为x＝1的点在第四象限得出a＋b＋c＜0，由图象上横坐标为x＝－1的点在第二象限得出a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．故选D.【答案】D方法总结：1.可根据对称轴的位置确定b的符号：b＝0⇔对称轴是y轴；a、b同号⇔对称轴在y轴左侧；a、b异号⇔对称轴在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.2.当x＝1时，函数y＝a＋b＋c.当图象上横坐标x＝1的点在x轴上方时，a＋b＋c＞0；当图象上横坐标x＝1的点在x轴上时，a＋b＋c＝0；当图象上横坐标x＝1的点在x轴下方时，a＋b＋c＜0.同理，可由图象上横坐标x＝－1的点判断a－b＋c的符号.考点四抛物线与几何变换例4将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是()A．y＝(x－4)2－6B．y＝(x－4)2－2C．y＝(x－2)2－2D．y＝(x－1)2－3【点拨】方法一：因为y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的解析式为y＝(x－3－1)2－4＋2，即y＝(x－4)2－2.故选B.方法二：因为y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以顶点为(3，－4)，将点(3，－4)先向上平移2个单位，再向右平移1个单位所得到的点为(4，－2)，所以平移后的解析式为y＝(x－4)2－2.故选B.【答案】B例．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线．以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝－19(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是.方法总结：抛物线平移的规律可总结如下口诀：左加右减自变量，上加下减常数项.考点五用待定系数法求二次函数的解析式例5如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2,0)，B(0，－1)和C(4,5)三点．(1)求二次函数的解析式；(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；(3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．【点拨】本题考查用待定系数法求二次函数解析式及二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系．解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2,0)，B(0，－1)和C(4,5)三点，∴4a＋2b＋c＝0，c＝－1，16a＋4b＋c＝5，解得a＝12，b＝－12，c＝－1，∴y＝12x2－12x－1.(2)当y＝0时，12x2－12x－1＝0，解得x＝2或－1，∴D(－1,0).(3)如图，当－1＜x＜4时，一次函数的值大于二次函数的值.方法总结：1.若已知图象上的任意三个点，则设一般式求解析式；2.若已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最值时，则可设顶点式求解析式，最后化为一般式；3.若已知二次函数图象与x轴的交点坐标为x1，0、x2，0时，可设交点式求解析式，最后化为一般式.考点六利用函数图象解方程(组)或不等式例6二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y0时，x的取值范围是()A．x－1B．x3C．－1x3D．x－1或x3【点拨】根据图象可知，当y＞0时，函数的图象在x轴的上方，由左边一段图象可知x＜－1，由右边一段图象可知x＞3.因此x－1或x3.【答案】D方法总结：利用二次函数y＝ax2＋bx＋ca≠0的图象求不等式y＞0或y＜0的解集，实质就是求当x在什么范围内时，函数的图象在x轴的上或下方.考点七二次函数的应用例7某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系：y＝ax2＋bx－75，其图象如图所示．(1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？【点拨】本题考查建立二次函数模型解决实际问题，用配方法求最值是解决问题的关键．解：(1)∵y＝ax2＋bx－75的图象经过点(5,0)，(7,16)，∴25a＋5b－75＝0，49a＋7b－75＝16.解得a＝－1，b＝20.∴y＝－x2＋20x－75＝－(x－10)2＋25.∴当销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元．(2)∵x＝10为抛物线的对称轴，且(7,16)在抛物线上，∴(13,16)也在该抛物线上．∴当7≤x≤13时，该种商品每天的销售利润不低于16元．方法总结：利用二次函数的知识常解决以下几类问题：最大利润问题，求几何图形面积的最值问题，拱桥问题，运动型几何问题，方案设计问题等.练习1．南宁柿饼加工精细，上市时，外商王经理按市场价格10元/千克在南宁收购了2000千克柿饼存放入冷库中．据预测，柿饼的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批柿饼时每天需要支出各种费用合计320元，而且柿饼在冷库中最多保存80天，同时，平均每天有8千克的柿饼损坏不能出售．(1)若存放x天后，将这批柿饼一次性出售，设这批柿饼的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式．(2)王经理想获得利润20000元，需将这批柿饼存放多少天后出售？(利润＝销售总金额－收购成本－各种费用)(3)王经理将这批柿饼存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)由题意，得y与x之间的函数关系式为y＝(10＋0.5x)(2000－8x)＝－4x2＋920x＋20000(1≤x≤80，且x为整数)．(2)由题意，得－4x2＋920x＋20000－10×2000－320x＝20000，解得x1＝50，x2＝100(不合题意，舍去)．王经理想获得利润20000元，需将这批柿饼存放50天后出售．(3)设最大利润为w，由题意，得w＝－4x2＋920x＋20000－10×2000－320x＝－4(x－75)2＋22500.∵75＜80，∴当x＝75时，w最大＝22500.∴存放75天后出售这批柿饼可获得最大利润，最大利润是22500元．练习2．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0，c＜0